Estrutura das somas das colunas de matrizes ortonormais reais

Question

Suponha que eu tenha uma matriz ortonormal quadrada real $A \in O(D)$. Eu gostaria de entender que estrutura existe no conjunto de somas de coluna de$A$.

Por exemplo, $O(2)$pode ser parametrizado por um único escalar. Para ver por quê, considere$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Uma vez que a primeira coluna deve ter norma de unidade,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Uma vez que a segunda coluna deve ser ortogonal à primeira coluna e também deve ter norma unitária,$b = -c$ e $d = a$. Consequentemente,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ e as somas das colunas são $a + \sqrt{1 - a^2}$ e $a - \sqrt{1 - a^2}$. Quando eu ploto as somas das colunas como uma função de$a$, Eu observo essas belas curvas:

Minha pergunta é: como essa estrutura se generaliza para $O(D)$? Alguma quantidade é conservada? Se eu ordenar as somas das colunas em ordem decrescente, existe alguma relação entre elas?

Talvez o que eu gostaria é algum teorema que afirma "se as somas das colunas anteriores fossem $A, B, C,...$ então a soma da próxima coluna é igual a $Z$ / limitado entre $[-X, Y]$"

Answer 1

Saber que o conjunto de todos os vetores de soma de colunas possíveis é uma esfera essencialmente responde a todas as perguntas possíveis que você poderia querer fazer sobre tais vetores. Especificamente, temos:

Deixei $S(n)$ ser o conjunto de vetores de soma de colunas de matrizes ortogonais em $O(n)$. Então$S(n)$ é igual à esfera do raio $\sqrt n$ centrado na origem.

Dos comentários:

posso dizer algo além disso? Visto que os vetores são ortonormais, isso sugere que fixar um (ou vários) limita severamente quais pontos restantes na esfera podem ser escolhidos.

Trazer a hipótese de que os vetores são ortonormais não pode dar a você quaisquer resultados mais fortes, uma vez que essa hipótese está embutida no teorema de que o conjunto de todos os vetores de soma de coluna é uma esfera. Então, sim, fixar uma ou várias coordenadas restringe as outras - mas as restringe única e precisamente na medida em que devem ser escolhidas para que o ponto resultante termine em uma esfera. Não adianta tentar obter mais restrições, pois o resultado é que$S(n)$é igual a uma esfera - não um subconjunto dela, e não um superconjunto dela, mas igual. Portanto, a restrição é tão rígida quanto possível.

Por exemplo:

1. Você pode parametrizar $S(n)$, usando qualquer parametrização padrão de uma esfera .

2. Sim, se você corrigir o primeiro $k$coordenadas, isso restringe as coordenadas restantes, uma vez que todo o vetor deve terminar em uma esfera. Especificamente, as coordenadas restantes$a_{k+1}, ..., a_n$ deve ser escolhido para que $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ Em outras palavras, se $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, as coordenadas restantes devem ser escolhidas de uma esfera de raio $\sqrt{n-r^2}$ no $(n-k)$espaço -dimensional.