Explicando o que significa um polinômio ser irredutível em F
Seja F um campo e seja F [x] o anel de polinômios em um x indeterminado com coeficientes em F. Explique o que significa para um polinômio g (x) em F [x] ser irredutível em F.
Estou pensando assim (muito importante acertar):
Isso significa que o polinômio de grau n> = 1 com coeficientes em um Campo F é considerado irredutível em F se não puder ser escrito como um produto de dois polinômios não constantes em F de grau menor que n.
O suficiente para corrigir? Ou talvez adicionar uma linha sobre todos eles serem primos?
Respostas
Você não precisa dizer que ele tem uma fatoração em primos com pelo menos dois fatores, mas é equivalente para anéis polinomiais.
Em um anel geral, um elemento $r$é irredutível se, sempre que for escrito como$r=ab$, exatamente um de $a$ e $b$é invertível. Escrita$r\mid a$ se existe $b$ de tal modo que $r=ab$, outra maneira de dizer isso é que $r$ é irredutível se, sempre $a\mid r$, $r\mid a$.
Isso é diferente de primo, que é: $r$é primo se$r$ não é zero ou invertível e, sempre que $r\mid ab$, $r\mid a$ ou $r\mid b$.
Em um domínio integral (com unidade) $R$, todo primo é irredutível, mas nem todo irredutível precisa ser primo. Para ver que todo primo é irredutível, suponha que$r$ é primo e $r=ab$. Desde a$r=ab$certamente $r\mid ab$. portanto$r\mid a$ ou $r\mid b$, sem perda de generalidade $r\mid a$. portanto$a=rs$ para alguns $s$, e assim $$ r=ab=rsb.$$ Desde a $R$ é um domínio integral e $r(1-sb)=0$, nós vemos que $sb=1$. Em particular,$b$ é invertível, de modo que $r$ é irredutível.
Os anéis em que todo irredutível é primo são domínios de fatoração exclusivos , ou UFDs. Isso é equivalente à afirmação de que cada elemento$r\in R$tem uma fatoração em irredutíveis, e , os irredutíveis que aparecem nesta fatoração são únicos até a reordenação e multiplicação por elementos invertíveis.
Anéis polinomiais (em potencialmente muitas variáveis) sobre campos são exemplos de UFDs, portanto, para anéis polinomiais, existem várias definições potenciais de irredutível.