Explicando o que significa um polinômio ser irredutível em F

Aug 15 2020

Seja F um campo e seja F [x] o anel de polinômios em um x indeterminado com coeficientes em F. Explique o que significa para um polinômio g (x) em F [x] ser irredutível em F.

Estou pensando assim (muito importante acertar):

Isso significa que o polinômio de grau n> = 1 com coeficientes em um Campo F é considerado irredutível em F se não puder ser escrito como um produto de dois polinômios não constantes em F de grau menor que n.

O suficiente para corrigir? Ou talvez adicionar uma linha sobre todos eles serem primos?

Respostas

DavidA.Craven Aug 16 2020 at 03:38

Você não precisa dizer que ele tem uma fatoração em primos com pelo menos dois fatores, mas é equivalente para anéis polinomiais.

Em um anel geral, um elemento $r$é irredutível se, sempre que for escrito como$r=ab$, exatamente um de $a$ e $b$é invertível. Escrita$r\mid a$ se existe $b$ de tal modo que $r=ab$, outra maneira de dizer isso é que $r$ é irredutível se, sempre $a\mid r$, $r\mid a$.

Isso é diferente de primo, que é: $r$é primo se$r$ não é zero ou invertível e, sempre que $r\mid ab$, $r\mid a$ ou $r\mid b$.

Em um domínio integral (com unidade) $R$, todo primo é irredutível, mas nem todo irredutível precisa ser primo. Para ver que todo primo é irredutível, suponha que$r$ é primo e $r=ab$. Desde a$r=ab$certamente $r\mid ab$. portanto$r\mid a$ ou $r\mid b$, sem perda de generalidade $r\mid a$. portanto$a=rs$ para alguns $s$, e assim $$ r=ab=rsb.$$ Desde a $R$ é um domínio integral e $r(1-sb)=0$, nós vemos que $sb=1$. Em particular,$b$ é invertível, de modo que $r$ é irredutível.

Os anéis em que todo irredutível é primo são domínios de fatoração exclusivos , ou UFDs. Isso é equivalente à afirmação de que cada elemento$r\in R$tem uma fatoração em irredutíveis, e , os irredutíveis que aparecem nesta fatoração são únicos até a reordenação e multiplicação por elementos invertíveis.

Anéis polinomiais (em potencialmente muitas variáveis) sobre campos são exemplos de UFDs, portanto, para anéis polinomiais, existem várias definições potenciais de irredutível.