História de polinômios irredutíveis e motivação para eles
Tenho pensado sobre a história dos polinômios irredutíveis e por que foram introduzidos. Eu descobri qual é a origem dos polinômios e notação para eles? , mas é sobre polinômios em geral.
Alguém poderia descrever a motivação histórica para a introdução e estudo de polinômios irredutíveis? Eu adoraria obter algumas referências para isso.
Respostas
Vou pular a pré-história de resolver equações polinomiais e fatorar polinômios. Deixe-me mencionar que a analogia entre a divisão longa de números e polinômios remonta ao matemático islâmico medieval al-Samawal, veja Quem inventou a divisão curta e longa? , e o algoritmo euclidiano para polinômios foi otimizado por Hudde, um contemporâneo mais jovem de Descartes, ver Suzuki, The Lost Calculus .
A história própria dos irredutíveis começa com polinômios ciclotômicos em Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801). Sua motivação estava relacionada à inscrição de polígonos regulares em um círculo com régua e compasso, e uma observação enigmática apontou para uma generalização para a lemniscata. A teoria inicial foi desenvolvida no contexto de "congruências superiores", equações polinomiais módulo primos e seus poderes, consulte Por que Eisenstein provou o critério de Eisenstein de Cox e História da teoria dos números de Dickson, cap. VIII . O estudo dos anéis numéricos gerais por Kummer e Dedekind veio da mesma fonte.
Gauss provou que polinômios ciclotômicos com índices primos são irredutíveis (ele não usou essa terminologia). No decorrer disso, ele provou o primeiro resultado geral sobre a irredutibilidade, o lema de Gauss . Ainda mais relevante foi a seção não publicada 8 de Disquisitiones Arithmeticae , intitulada Disquisitiones generales de congruentiis , onde Gauss estudou o módulo de "congruências polinomiais"$p$, ou seja, polinômios em $\mathbb{F}_p[x]$em termos modernos, ver Frei, The Unpublished Section Eight . Ele contou o número de polinômios mônicos irredutíveis em$\mathbb{F}_p[x]$, e provou ser um caso do lema de Hensel no decorrer dele. Mas tudo isso só se tornou disponível depois que Dedekind publicou a seção 8 em 1863 (versão completa em 1876) e foi redescoberto por outros nesse ínterim, especialmente Schönemann e o próprio Dedekind.
Mas mesmo as partes publicadas foram inspiração suficiente para Abel e Galois. O teorema da irredutibilidade de Abel , não tão formulado, apareceu em seu Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement (1829). Abel foi levado a isso por sua extensão anterior à lemniscata do resultado de Gauss em subdividir um círculo em partes iguais, de acordo com a observação de Gauss. Na nota de Galois, Sur la theory des nombres (1830, aparece com tradução para o inglês em Os escritos matemáticos de Évariste Galois ), vemos o termo " irrédutível ", embora seja aplicado a congruências em vez de polinômios, e uma construção relacionada de campos finitos .
Mas Schönemann em um artigo de duas partes Grundzuge einer allgemeinen Theorie der hohern Congruenzen (1845) e Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind (1846) redescobriu independentemente os resultados de Gauss e Galois e foi muito mais longe. Em particular, ele aplica "irredutível" a polinômios e afirma um problema geral: " Para investigar, se o poder de um módulo polinomial irredutível$p$ é ou não é módulo irredutível $p^m$", que ele resolve usando uma versão do que agora é chamado de " critério de Eisenstein " de irredutibilidade (em grande parte devido à omissão de van der Waerden). Eisenstein redescobriu o critério ao reprovar o teorema de Abel sobre a subdivisão da lemniscata, e compartilhou a ideia em uma carta a Gauss em 1847, mas a versão publicada só apareceu em Uber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Gleichung (1850). Vários autores trabalharam em congruências superiores daquele ponto em diante, Mathieau, Serret, Dedekind, Kronecker, Jordan, Weber, etc.
Nas mãos de Dedekind, após seu Abriß einer Theorie der hoheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus (1857), a história tomou um rumo mais abstrato que levou à moderna teoria dos anéis. Mais tarde, Dedekind sintetizou o trabalho de Gauss, Galois, Schönemann e Kummer introduzindo anéis e ideais e desenvolvendo uma terminologia unificada de primos e irredutíveis, consulte Quais mudanças na matemática resultaram na mudança da definição de primos e exclusão de 1? Em uma veia mais concreta, Kronecker deu um algoritmo geral para fatorar completamente um polinômio inteiro racional em um produto de irredutíveis em 1882, ver Dorwart, Irreducibility of Polynomials. O critério de Schönemann-Eisenstein foi estendido por Konigsberger (1895), Netto (1896) Bauer e Perron (1905). Dumas desenvolveu o agora popular método de polígono de Newton para estudar a irredutibilidade em Sur quelques cas d'irreductibilite des polynomes a coeficientes rationnels (1906), ver condições de irredutibilidade do tipo Schönemann-Eisenstein-Dumas por Bonciocat .