"Inverso" $N$-problema corporal [fechado]

Question

Há um bem conhecido $N$-problema corporal na mecânica clássica: dadas as posições iniciais e velocidades de $N$ partículas em algum espaço, descrevem sua dinâmica ao longo de algum intervalo de tempo.

Estou interessado em alguma forma de problema "inverso": vamos supor que sabemos que existem $(N+1)$partículas em algum espaço. Recebemos as trajetórias de$N$dessas partículas em algum intervalo de tempo. O problema é restaurar a trajetória do$(N+1)$-ésima partícula no mesmo intervalo de tempo.

O campo de força subjacente é considerado conhecido. Por exemplo, podemos assumir que cada par de partículas é atraído de acordo com a lei do inverso do quadrado.

Qual é o nome geralmente aceito correto para este problema? Este problema está descrito na literatura?

Answer 1

Se o sistema estiver isolado, então o centro de massa deste sistema se move a uma velocidade constante (geralmente zero) $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ E se $\mathbf{r}_i(t)$ são conhecidos por todos $i=1,\ldots,N$, então $\mathbf{r}_{N+1}(t)$pode ser obtido a partir desta equação: \ begin {equation} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {equation} Esta equação contém 2 parâmetros desconhecidos : posição inicial do centro de massa$\mathbf{r}_0$ e sua velocidade $\mathbf{v}_c$. Esses parâmetros podem ser (presumivelmente) obtidos exigindo que as equações de movimento sejam mantidas (visto que a lei da interação é conhecida).

ATUALIZAR:

Obter $\mathbf{r}_0$ e $\mathbf{v}_c$ das equações de movimento:

Suponha que a energia potencial seja: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Então, a equação de movimento para cada partícula é:$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Para a primeira partícula: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Substituindo a solução (1) na equação (2) e definindo $t=0$ leva a uma equação para $\mathbf{r}_0$. Claro, a equação pode ser não linear e pode ter várias soluções.

Depois de $\mathbf{r}_0$ seja encontrado, $\mathbf{v}_c$ pode ser obtido a partir da mesma equação (2) para $t>0$.