Multiplicidade de Conjugados Complexos de Autovalores Complexos Repetidos

Question

Eu sei que, para uma matriz de valor real, os autovalores complexos vêm em pares conjugados complexos. No entanto, estou me perguntando o que acontece para autovalores complexos repetidos (ou seja, autovalores complexos com multiplicidade maior que 1). Nesse caso, o conjugado complexo do autovalor complexo repetido tem a mesma multiplicidade que esse autovalor? Se essa afirmação for válida, como podemos mostrar que é verdade?

Answer 1

De fato, descobrimos que se uma matriz real $A$ tem um autovalor complexo $\lambda$, então o autovalor conjugado $\bar \lambda$tem a mesma multiplicidade algébrica e geométrica. Na verdade, podemos dizer um pouco mais:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$o que significa que todas as estruturas associadas aos autovalores são iguais. Ou seja, a forma Jordan de$A$ tem o mesmo número e tamanho de blocos para $\lambda$ e $\bar \lambda$.

No que diz respeito à comprovação de multiplicidades, temos o seguinte: a multiplicidade algébrica é a multiplicidade da raiz $\lambda$ no polinômio característico $p(x) = \det(xI - A)$. Como é verdade para qualquer polinômio com coeficientes reais, a multiplicidade da raiz$\lambda$ isso é o mesmo que a multiplicidade da raiz $\bar \lambda$.

Para multiplicidade geométrica, uma abordagem é a seguinte: notamos que as matrizes satisfazem $\overline{A B} = \bar A \bar B$. Segue-se que se$v$ é um autovetor (complexo) associado ao autovalor $\lambda$, então nós temos $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ Em outras palavras, o mapa $v \mapsto \bar v$ é invertível $\Bbb R$- mapa linear entre os autoespaços de $A$ associado com $\lambda$ e $\bar \lambda$. Conclui-se que esses espaços têm a mesma dimensão.