O conjunto de autovalores de um operador limitado em um espaço de Hilbert separável é contável?

Aug 17 2020

O espectro de um operador geralmente é incontável, mas observe que a questão se refere aos autovalores .

Isso é bem conhecido por operadores auto-adjuntos, mas não vejo como o resultado se estende além desse caso.

A mesma pergunta também faz sentido para espaços separáveis ​​de Banach.

Respostas

2 MikeF Aug 17 2020 at 03:12

A mesma pergunta é feita e respondida no mathoverflow aqui . O operador de marcha para trás$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ definido por $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$faz o trabalho. Para cada$\lambda \in \mathbb{C}$ com $|\lambda|<1$, a sequência geométrica $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ é quadrado-integrável e satisfaz $T v = \lambda v$.