Pelo menos um subgrupo cíclico bem definido de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, para prime $p$.
Considere os inteiros do formulário
$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $
O conjunto correspondente de classes de resíduos $\{[pq + 1]\}$ formar um grupo cíclico de ordem $p$ com gerador $[p + 1]$.
Exemplo: If $p = 11$ então $12$ gera um subgrupo cíclico de ordem $11$ no $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:
$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$
Eu tenho uma prova direta do acima usando a teoria da divisão (representação) Euclidiana, mas estaria interessado em ver outras provas (ou links / referências). Além disso, o link da Wikipédia
$\quad$ Grupo multiplicativo de módulo de inteiros $n$
estados
... embora mesmo para prime $n$ nenhuma fórmula geral para encontrar geradores é conhecida.
Portanto, também estou interessado em qualquer progresso parcial feito nesta área, determinando a ordem dos elementos em ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.
Respostas
Aqui nós 'construímos padrão' o grupo cíclico maior $K_{2p}$ gerado por $[p-1]$ no $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ pra $p \ge 5$.
O grupo $K_{2p}$ tem $2p$ elementos
Definir $k = p-1$, um número inteiro par.
Defina uma lista de números começando em $p-1$ e incrementando por $2p$ enquanto fica embaixo $p^2 - 1$,
$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$
Agora adicione $p$ a cada número para criar uma segunda lista,
$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$
O $\text{[.]}_{\, p^2}$ resíduos do conjunto de números em $G_1 \cup G_2$ são exatamente os $k$ geradores para $K_{2p}$ tendo pedido $2p$.
Continuando, definiremos outra lista de números começando em $p+1$ e incrementando por $2p$
(equivalentemente, adicione $2$ para cada número em $G_1 \cup G_2$),
$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$
Agora adicione $p$ a cada número para criar uma segunda lista,
$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$
O $\text{[.]}_{\, p^2}$ resíduos do conjunto de números em $H_1 \cup H_2$ são exatamente os $k$ elementos em $K_{2p}$ tendo pedido $p$.
Desde a $2p - 2k = 2$ há dois elementos que ainda precisam ser contabilizados em $K_{2p}$. Mas esses são os dois elementos$\{[1],[p^2-1]\}$ satisfatório $x^2 = 1$.
Exemplo: Para $p = 11$ especifique o subgrupo adequado $K_{22}$ de $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.
Os elementos de ordem $22$ consiste em
$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$
Os elementos de ordem $11$ consiste em
$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$
Os elementos de ordem $2$ consiste em
$\quad [120]$
Os elementos de ordem $1$ consiste em
$\quad [1]$