Podemos garantir que existe um $\epsilon' > 0$ o que vale para essa desigualdade?

Question

Atualmente, estou tentando provar a lei do limite multiplicativo:

deixei $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ ser sequências convergentes de números reais, e $X, Y$ sejam os números reais $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ e $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

Desde ambos $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ e $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ são convergentes para X e Y respectivamente, sabemos que $|a_n - X| \leq \epsilon'$ e $|b_n - Y| \leq \delta$.

Também sabemos, por algum lema que provamos no início do livro, que $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

Isso é perfeito, pois posso usá-lo para mostrar que $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ para algum arbitrário $\epsilon > 0$, contanto que eu mostre que existe $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ e que existe algum $0 < \delta < 1$ de tal modo que $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

Eu poderia provar a primeira parte usando a propriedade arquimediana dos reais, mas não estou tão certo sobre a segunda parte. A segunda parte parece que deve funcionar, pois podemos escolher um arbitrariamente pequeno$\delta$, mas não posso provar que sim. Estou fazendo algo errado? é possível mudar um pouco essa prova para que funcione?

Answer 1

E se $a_n \to a, b_n \to b$ então há algum $M$ de tal modo que $|a|,|b_n| \le M$.

Então $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

Agora escolha $N$ grande o suficiente para que $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.