Por que a ação de Z controlado é inalterada pela troca de qubits de controle de destino?
No livro "Quantum Computer Science", ao explicar o código de correção de erros, usa-se essa figura e diz "a ação do Controller-z é inalterada pela troca dos qubits alvo e controle".
Isso significa que o ato de cZ (controle ancilla qubit e palavra-código alvo qubit) é igual a cz (controle palavra-código qubit e alvo ancilla qubit)? Se for esse o caso, por que isso?
No meu entendimento, | 1> Z | 0> (o primeiro qubit é o qubit de controle) não é igual a Z | 0> | 1> (o segundo qubit é o qubit de controle).
Respostas
Se tivermos um estado arbitrário de dois qubit:
$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$
então depois de aplicar $CZ_{1 \rightarrow 2}$ controlado a partir do primeiro qubit, obteremos:
$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
porque a operação de controle funciona quando o qubit de controle é $|1\rangle$ e $Z$ portão muda o sinal da amplitude do $|1\rangle$ estado, portanto $CZ_{1 \rightarrow 2}$ ação está mudando o sinal do $|11\rangle$.
Agora a ação de $CZ_{2 \rightarrow 1}$:
$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
O mesmo é verdade aqui apenas o sinal do $|11\rangle$deve ser alterado por motivos semelhantes. Isso pode ser visto também usando matrizes:
$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$