Por que o número de$\mathbb{F}_q$pontos no grau$d$curvas$C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$diminuir como$n$aumenta?
Esta questão diz respeito a alguns resultados contra-intuitivos (pelo menos para mim) em relação ao número de pontos em uma curva projetiva sobre um campo finito. Ou seja, se alguém fixa o grau da curva, mas aumenta a dimensão do espaço projetivo ambiente, pode-se obter limites mais rígidos no número de$\mathbb{F}_q$pontos na curva, apesar de haver um número maior de$\mathbb{F}_q$pontos no espaço ambiente. Deixe-me tornar isso mais preciso com dois exemplos.
Deixar$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$seja uma curva projetiva de grau$d$. Suponha$C$é não degenerado no sentido de que não está contido em nenhum espaço projetivo menor$\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$,$k<n$.
Trabalho de Homma (estendendo o trabalho de Homma e Kim) mostrou$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$com uma única exceção (até o isomorfismo) sobre$\mathbb{F}_4$. Este é o chamado limite Sziklai, e é apertado para$n=2$.
Este limite não é apertado para$n>2$; recentemente Beelen e Montanucci mostram que se$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$é não degenerado então de fato$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$Eles ainda conjeturam do que se$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, o limite geral deve ser$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Isso lembra um fenômeno do trabalho de Bucur e Kedlaya. Por exemplo: uma curva suave aleatória em$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$espera-se que tenha$$q+1$$pontos sobre$\mathbb{F}_q$à medida que seu grau cresce até o infinito. Uma interseção completa aleatória de dois graus suaves$d$superfícies em$\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$espera-se que tenha$$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$pontos sobre$\mathbb{F}_q$, novamente como$d\to\infty$.
Esses resultados são contra-intuitivos para mim, pois o número de pontos no espaço projetivo ambiente cresce (exponencialmente) conforme$n$faz, então, em particular, parece-me que deveria ser mais fácil para as curvas terem$\mathbb{F}_q$pontos quando estão inseridos em espaços projetivos maiores. Alguém tem alguma intuição de por que o oposto deveria ser verdadeiro?
Referências:
Beelen e Montanucci: Um limite para o número de pontos de curvas espaciais sobre campos finitos
Bucur e Kedlaya: a probabilidade de uma interseção completa ser suave
Homma: Um limite no número de pontos de uma curva no espaço projetivo sobre um campo finito
Respostas
Uma maneira de obter alguma intuição é observar o limite combinatório (mais fraco). Suponha que você tenha uma curva não degenerada$C$em algum espaço projetivo$\mathbb P^n$. Suponha que isso$L$é um subespaço de codimensão$2$dentro$\mathbb P$e essa$|C\cap L|=m$. Quanto maior a dimensão$n$Obtém, o valor mais alto que podemos escolher para$m$. De fato, sempre podemos encontrar pelo menos$n-1$pontos em$C$que abrangem um$\mathbb P^{n-2}$.
Bezout diz que para qualquer hiperplano$H$Isso contém$L$, o número de pontos de$C$que estão em$H$e não minta$L$é no máximo$d-m$. Como o número de tais hiperplanos é$q+1$, independente da dimensão, obtemos$|C|-m\le (q+1)(d-m)$ou equivalente de reorganizar os termos$$|C|\le (d-m)q+d.$$Por$m=n-1$isso dá o limite$|C|\le (d-n+1)q+d$para todas as curvas não degeneradas$C$. Claro que isso é mais fraco do que a conjectura e os teoremas que você mencionou no post, mas (1) vale para todas as curvas, incluindo a que viola o limite de Sziklai (2) já exibe o fenômeno "o limite fica mais apertado à medida que$n$sobe".