Prova da teoria K do teorema do índice - alguma confusão menor
Estou tentando entender a abordagem geral do $K$-prova teórica do teorema do índice Atiyah-Singer, usando este https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdfpapel. Encontrei alguma confusão na página 29, onde o seguinte é declarado:
"Resta mostrar que o índice analítico comuta com o isomorfismo de Thom $\phi:K(X)\to K(V)$ Onde $V$ é um pacote vetorial complexo sobre $X$. [...] Este problema é consideravelmente simplificado se considerarmos pacotes triviais que podem ser expressos como o produto$V = X \times\mathbb{R}^n$. "
Na mesma página, passa a considerar um pacote vetorial $Y$ que parece ser o pacote associado de algum principal $G$-bundle, mas o autor considera novamente $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$, isto é, um pacote vetorial real. Não entendo muito bem como isso faz sentido, se quisermos provar algo para pacotes vetoriais complexos. Eu entendo que podemos ver um pacote vetorial complexo como um pacote vetorial real simplesmente "esquecendo" a estrutura complexa, mas uma vez que o isomorfismo de Thom (pelo menos no papel) é definido apenas para pacotes vetoriais complexos, acho que estou perdendo algo mais importante. Não consigo definir exatamente o que é, então se alguém pudesse explicar a construção na página 29, ficaria muito grato.
Respostas
Lembre-se de que se $X$ e $Y$ ser são coletores suaves compactos e $i\colon X\hookrightarrow Y$ e é uma incorporação suave, queremos definir um "mapa de gritos":
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ Onde $K_c$ é $K$-teoria com suportes compactos.
O primeiro passo (cf. p. 16 do artigo de G. Landweber ou pp. 497-8 do original M. Atiyah e I. Singer's The Index of Elliptic Operators: I ) é pegar uma vizinhança tubular$N\subseteq Y$ do $X$. Você pode identificá-lo com o pacote normal$N\to X$, que é, obviamente, um pacote vetorial real sobre $X$. Agora observe que$Ti\colon TX\to TY$ é uma incorporação e isso $TN$ é a vizinhança tubular de $TX$. Em outras palavras:$TN\to TX$ é um pacote vetorial real.
Mas podemos dizer ainda mais. Acontece que se$\pi\colon TX\to X$é a projeção, então$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. Como$N\oplus N\to X$pode ser tratado como um pacote vetorial complexo (ou seja,$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, concluimos que $TN\to TX$também pode ser tratado como um pacote vetorial complexo . Em particular, faz sentido considerar o homomorfismo de Thom$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
O axioma de excisão nos permite definir o "índice analítico" para $N$ como um mapa $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (Observe que este "índice analítico" é definido por meio de embeddings em variedades compactas, portanto, seu significado é diferente do que no caso compacto). Queremos mostrar que este índice analítico comuta com o homomorfismo de Thom definido acima. Para fazer isso, observamos que$N$, como um pacote normal sobre $X$, pode ser escrito como $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, Onde $P$ é um diretor $O(n)$-bundle e $X=P/O(n)$. Em seguida, usa-se o axioma multiplicativo do índice analítico. (Esta é a parte mais avançada da prova e de fato motiva o uso de equivariante$K$-teoria neste caso. No entanto, se$N$ é um pacote trivial, $O(n)$ pode ser substituído pelo grupo trivial $1$, e a equivariância não é necessária. Da mesma forma, para orientável$X$, é suficiente considerar o grupo $SO(n)$, o que simplifica um pouco a prova).
Parece que esta construção foi feita para fibrados vetoriais reais porque todo pacote vetorial complexo pode ser considerado um pacote vetorial real ao descartar a estrutura complexa. Estou tendo problemas para justificar isso, já que precisamos adicionar a estrutura complexa novamente para o isomorfismo de Thom, e gostaria de ouvir por que não usamos$U(n)$- pacotes de vetores em vez disso, uma vez que $U(n)$também é um grupo de Lie compacto. Não podemos formar qualquer pacote vetorial complexo dessa maneira, como podemos formar qualquer pacote vetorial real como o pacote associado de algum pacote principal?