Provando existência de solução para ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Aug 15 2020

Deixei $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ ser duas vezes diferenciável com $f'' > 0$, e deixar $u_- > u_+$ser números reais. Mostre que existe uma solução$\varphi(x)$ à seguinte equação diferencial: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ de tal modo que $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, e onde $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.


Minha tentativa inicial é observar que este DE pode ser bem integrado ao seguinte: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Assim, basta mostrar a existência de uma solução para este DE em vez, onde somos livres para escolher $C$. Tentei trazer o RHS para o LHS, que dá:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ Onde $D \in \Bbb{R}$. Assim, se definirmos:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ e assumindo que $g$ é invertível, então $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ seria uma solução para $(2)$. No entanto, existem alguns problemas nesta abordagem que precisamos resolver:

  1. A integral não fará sentido se $f(\varphi) - s\varphi + C$ desaparece em algum ponto em $\Bbb{R}$. Como somos livres para escolher$C$, se pudermos mostrar que $f(\varphi) - s\varphi$ é delimitada por cima ou por baixo, então essa escolha de $C$existirá. Eu suspeito que podemos usar a convexidade e a definição de$s$ para provar isso, mas minhas tentativas são inúteis até agora.
  2. Se a integral fizer sentido, outro problema é se $g$é invertível. No entanto, isso não deve ser um problema da FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ então, se o denominador não desaparecer, $g'$ é contínuo e, portanto, deve ser estritamente positivo ou negativo, portanto $g$ é estritamente monótono, portanto invertível.
  3. O maior problema aqui é que esta definição não garante a exigência de $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Tentei manipular a integral para caber nessa condição, mas sem sucesso até agora.

Também tentei outras abordagens, como usar a iteração de Picard, mas como esse problema não é realmente um IVP, eles não tiveram sucesso.

Qualquer ajuda é apreciada.

Respostas

4 EditPiAf Aug 17 2020 at 15:58

Usando os limites em $\pm\infty$, nós achamos $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$veja este exercício no Evans PDE. A estrita convexidade de$\varphi\mapsto \varphi'$ segue da convexidade estrita $f''>0$ do $f$. Esta propriedade rende$\varphi' < 0$ para $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Portanto,$\varphi$ é uma função de diminuição suave, que diminui de $u_-$ para $u_+$. Para investigar a estabilidade do equilíbrio$\varphi = u_\pm$, calculamos o sinal da derivada $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ em equilíbrio, que é negativo em $\varphi = u_+$ e positivo em $\varphi = u_-$devido à convexidade estrita. Portanto,$u_+$ é um equilíbrio atraente e $u_-$é um equilíbrio repulsivo. Desde o rhs. da equação diferencial acima não é singular e não possui raízes adicionais, qualquer solução limitada conectará necessariamente os dois valores$u_\pm$ através de uma função de diminuição suave $\varphi$. O integrando em$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ é singular nos limites $\varphi = u_\pm$. A convergência dessa integral imprópria segue de seu comportamento assintótico nos limites.