Provando se $b^k = a$ e $\text{ord}(a) = n$ então $\text{ord}(b) = kn$.

Question

Deixei $(G,e)$ seja um grupo e $a \in G$ tem ordem finita

$\quad \text{ord}(a) = n$

e deixar $\langle a \rangle$ denotam o grupo cíclico gerado por $a$.

Suponha que $b \in G$ e $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ e $b^k = a$

Então a ordem de $b$ é $kn$.

Prova

A ordem de $b$ deve ser um múltiplo de $n$ Desde a $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$.

A ordem de $b$ deve dividir $kn$ Desde a $b^{kn} = e$.

Tudo o que resta é identificar $kn$ elementos distintos em $\langle b \rangle$.

Considere o mapeamento

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

Nosso trabalho estará completo se pudermos mostrar que esse mapeamento é injetivo. Isso é feito usando o fato de que o$b^v$ nunca pode ser um inverso não trivial para quaisquer elementos em $\langle a \rangle$.

Suponha $a^u b^v = a^s b^t$ e $u = s$. Então$v$ deve ser igual a $t$.

Portanto, assuma, sem perda de generalidade, que $u \gt s$. Então podemos escrever

$\quad a^w b^v = b^t$

com $0 \lt w \lt n$.

E se $v = t$ temos uma contradição desde $a$ tem ordem $n$.
E se$v \gt t$temos uma contradição, pois não podemos construir um inverso não trivial.
E se$v \lt t$ temos uma contradição desde $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$.

Isso completa a prova.

Esta é uma prova válida?

Parece-me bem, mas o motivo para postar essa pergunta é que não consegui encontrar isso na internet de fatos matemáticos . Não consegui encontrar este (fato?) Como uma pergunta duplicada neste site ou em qualquer outro lugar.

Portanto, quaisquer links para a literatura que usa isso seriam de interesse.

Answer 1

Sua prova está correta. Uma prova muito mais curta segue.

Para $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ Desde a $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ Ou $x\bmod k>0$ e $b^x\not\in\langle a\rangle$ porque o primeiro fator está em $\langle a\rangle$ e o segundo não é, ou $x\bmod k=0$ mas $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ e $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$.

No entanto, é fácil mostrar que $b^{kn}=e$. Daí a ordem de$b$ é $kn$.