Qual é a condição para um grupo $G$ser igual ao produto de dois subgrupos normais

Question

Se$G$é um grupo e$N,M$são dois subgrupos normais. Sabemos que o produto$NM$é o subgrupo normal de$G$, mas quando posso dizer isso$G=NM$. Quais devem ser as condições$N,M$?

Answer 1

Assumindo que todos os grupos mencionados nestes exemplos são finitos.
Um exemplo: se$|G:M|$e$|G:N|$são coprime , então$G=NM$. Prova:$|G:NM| \mid |G:M|$e$|G:NM| \mid |G:N|$.
Outro exemplo: se$|M|$e$|N|$são coprime e$|G|=|N| \cdot |M|$, então$G=NM$.
Ainda outro exemplo: se$M$é um subgrupo máximo e$N \not \subseteq M$, então$G=NM$.

Se você está familiarizado com a teoria de caracteres (comum) de grupos finitos : se$\varphi$é um personagem de$M$e a indução-restrição$(\varphi^G)_N$é irredutível, então$G=NM$.

Answer 2

Há uma questão mais geral, que tem sido intensamente estudada, a saber, quando podemos dizer que$G=AB$para subgrupos$A,B$? Tais grupos$G$são chamados de fatorizáveis ​​e há uma grande literatura sobre eles.

Existem algumas condições triviais, por exemplo, que$AB$é um subgrupo de$G$se e apenas se$AB=BA$, Vejo

Deixar$A,B$ser subgrupos de um grupo$G$. Provar$AB$é um subgrupo de$G$se e apenas se$AB=BA$

Referências sobre grupos fatoráveis: por exemplo Arad , e muitos artigos de Amberg,B. Franciosi, S. e Degiovanni e outros, também papéis de Gorenstein, Herstein .

Para mais referências veja também este post MO .