Qual é a intuição por trás do Bures e das métricas de ângulo?

Question

Estou lendo medidas de distância para comparar processos quânticos reais e ideais e é explicada a motivação por trás da métrica Bures e da métrica angular.

A métrica Bures é definida como:

$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$

A métrica do ângulo é definida como:

$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$

Onde $F(\rho,\sigma)$ é a fidelidade entre $\rho$ e $\sigma$matrizes de densidade. Ele diz que podemos entender essa motivação em estados puros: veríamos que vem da distância euclidiana usual.

Se eu fizer esses cálculos, definiria a distância euclidiana como:

$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$

Para encontrar a métrica Bure, devo assumir $\langle X | Y \rangle \geq 0$.

Mas por que seria o caso? Por exemplo, se eu considerar:

$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$

Eu não posso mudar a fase relativa entre $|a \rangle$ e $|b \rangle$ como eu quero (porque mudaria o estado físico $|\psi \rangle$) Assim se$\langle a | b \rangle $ não é um número positivo. Acho que não há muito que eu possa fazer por isso.

Como entender então a intuição por trás dessa métrica? Devo realmente considerá-lo como uma definição "abstrata" na qual verifico que ele satisfaz os axiomas de uma métrica? Mas seria estranho a maneira como o artigo explica a motivação por trás.

Pergunta semelhante para a métrica do ângulo.

[editar]: Eu acho que pode vir do fato de que queremos definir uma distância entre os estados físicos . Considerando$|\Phi \rangle$ e $| \Psi \rangle$dois estados físicos, sua fase global não importa. Assim, para ter uma fórmula simples podemos escolher suas fases$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ de modo a $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ que correspondem ao limite superior: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. De alguma forma, faz sentido porque estamos interessados ​​na distância entre estados físicos e não matemáticos. Podemos, portanto, corrigir as fases globais dos dois estados como gostaríamos.

Isso faz sentido ?

Answer 1

Preenchendo uma série de detalhes para obter uma resposta completa -

A partir do artigo vinculado, medidas de distância para comparar processos quânticos reais e ideais [arXiv: quant-ph / 0408063] , a definição de fidelidade é dada na Eqn. (4) como$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- o que pode parecer um pouco intimidador, mas demonstra duas coisas importantes sobre a fidelidade: que é definida em geral em operadores de densidade (não apenas vetores de estado), e que é sempre um número real não negativo. Se você quiser computá-lo para estados puros, a definição acima acaba sendo equivalente a$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ que é sempre um real não negativo e, em particular, que não depende de nenhuma fase global que você possa considerar para o estado $\lvert \psi \rangle$ ou $\lvert \phi \rangle$ (que não é informação física sobre o estado).

A métrica Bures (da segunda coluna da página 4) é então $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ que para estados puros simplifica para $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ onde o máximo é assumido sobre vetores unitários $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ e $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.

Você pergunta (não sem razão) por que, para estados puros, você pegaria o valor absoluto $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, em vez da parte real $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ como você faria se estivesse lidando diretamente com os produtos internos dos vetores $\lvert \psi \rangle$ e $\lvert \phi \rangle$. A resposta é que, como estamos interessados ​​nos estados e não realmente em vetores particulares que representam esses estados, trabalhar diretamente com os vetores de estados não necessariamente fornecerá uma resposta sensata. Para um estado$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, os valores de $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ e $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ geralmente não será o mesmo - mas se usarmos $\lvert \phi' \rangle$ ou $\lvert \phi \rangle$representar o estado deveria ser uma escolha puramente arbitrária, sem nenhum impacto na física ou em nossa análise da física. Qualquer escolha de fórmula deve ser estável sob tais escolhas arbitrárias e, além disso (para uma métrica) deve produzir o valor$0$ se considerássemos maneiras diferentes $\lvert \phi' \rangle$ e $\lvert \phi \rangle$ para representar o mesmo estado.

Tenha em mente que, no final do dia, seu comentário sobre simplificar para a métrica euclidiana provavelmente foi uma tentativa rápida de fornecer intuição, ao invés de uma tentativa séria de fornecer uma declaração formal. No entanto, há um sentido em que tomar o valor absoluto (ou se você preferir, o produto interno máximo entre estados equivalentes até fases globais) é a abordagem correta para considerar a conexão com a "distância euclidiana" entre "estados", e Espero que seja isso que eles têm em mente.