Qual é a maneira correta de escrever uma multiplicação entre escalar e vetorial?
A regra de multiplicação de matrizes afirma que o número de colunas do operando esquerdo é igual ao número de linhas do operando direito.
$M*N$ se M tem $n$ colunas e N devem ter $n$ linhas.
Seguindo essa convenção, a maneira natural de escrever uma multiplicação entre um vetor e um escalar é colocar o vetor no lado esquerdo - considerando o escalar como uma matriz 1 por 1.
no entanto, descobri que, muitas vezes, as pessoas não seguem a regra acima: usando a decomposição própria como exemplo:
wiki da decomposição de eigen
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
Existe alguma regra prática para nos guiar quando devemos colocar o escalar no lado esquerdo?
Respostas
A multiplicação escalar e a multiplicação de matrizes são 2 operações separadas. Mesmo que eles tenham a mesma palavra "multiplicação" neles - eles são completamente diferentes.
A multiplicação de matrizes não é comutativa - então você tem que colocar a matriz certa no lado certo, não se trata de convenções. Os escalares são comutativos e você pode colocá-los em qualquer um dos lados.
Não acho que exista uma convenção escrita per se - as pessoas simplesmente se acostumaram a colocar coeficientes antes de outros termos. Se você colocar um escalar à direita, dependendo do campo em que está trabalhando, algumas pessoas lendo suas expressões podem parar e pensar "hugh, espere, estamos trabalhando com álgebra não comutativa?" por um momento. Além disso, algumas pessoas podem pensar "hugh, isso é um escalar ou estou faltando alguma coisa?". Pode levar alguns ciclos cerebrais extras para um leitor, então eu manteria os escalares à esquerda, mas provavelmente não será uma tragédia se você colocá-los do outro lado.
Embora seja possível imitar a multiplicação escalar usando$1\times n$ ou $n \times 1$matrizes - isso não é o que é em sua essência. Novamente - essas são operações diferentes e apenas uma delas é comutativa.
Isso é apenas uma questão de convenções notacionais. Normalmente os axiomas de um espaço vetorial são formulados escrevendo multiplicação escalar na forma$$\lambda \cdot v$$ Onde $v \in V$ e $\lambda$ pertence ao campo $K$. A razão é que geralmente entendemos que no produto$\mu \cdot \lambda$ de elementos de $K$nós temos um primeiro fator$\mu$e um segundo fator$\lambda$. Em um campo (cuja multiplicação é comutativa) a ordem dos fatores parece ser irrelevante (porque$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), mas em um anel $R$(cuja multiplicação é em geral não comutativa) a ordem é essencial. Isso se aplica, por exemplo, ao anel de$n\times n$-matrizes sobre um campo. Um dos axiomas de um espaço vetorial é$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ que é mnemonicamente mais fácil do que a mesma fórmula escrita via multiplicação escalar da direita $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ Ok, para um campo isso não faz muita diferença, pois diz o mesmo que $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Mas observe que o conceito de um espaço vetorial pode ser generalizado para o de um módulo sobre um anel$R$e aqui a ordem faz a diferença. Na verdade, distingue-se entre a esquerda e a direita$R$-módulos. Para esquerda$R$-muódulos, geralmente se escreve multiplicação escalar como $\lambda \cdot v$, para certo $R$-módulos como $v \cdot \lambda$. Veja aqui .
Agora, vamos ao cerne de sua pergunta. O produto da matriz$A \bullet B$ geralmente é definido para um $m\times n$ matriz $A$ e um $n\times p$ matriz $B$, ou seja, exigimos que o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$. Como você disse, um escalar$\lambda$ pode ser considerado o $1 \times 1$ matriz $(\lambda)$. Assim, as duas seguintes expressões são definidas:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ Dentro $(1)$ $A$é chamado de vetor linha , em$(2)$um vetor de coluna .
Portanto, depende da sua notação favorita: Se você considerar elementos de $K^n$ como vetores de linha, você deve usar $(1)$, se você considerá-los como vetores de coluna, você deve escrever $(2)$.
De qualquer forma, isso só é relevante se você insistir por todos os meios em compreender o produto escalar de$\lambda$ e $A$como um produto de matriz. Normalmente para$A = (a_{ij})$ alguém simplesmente define $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ Fazendo isso, não importa se você considera os elementos de $K^n$ como vetores linha ou como vetores coluna.