Qual é a relação entre o sinal do código de correção de erros e o deslocamento dos operadores?

Aug 17 2020

Por exemplo, o QECC de 5 qubit.

E se $X_i, Y_i, Z_i$ comuta com $M_i$, o autovalor será +1. Caso contrário, o autovalor será -1. Qual é a relação entre o comutar e o sinal do autovalor? Além disso, uma vez que o qubit de controle é o qubit ancilla e o qubit alvo é$\psi$, como é que uma mudança no qubit alvo poderia influenciar a medição do qubit de controle? Por exemplo, se$X_0$ aparece, por que o resultado da medição de ancilla qubit é 0100?

Respostas

3 chrysaor4 Aug 17 2020 at 22:43

O que você está descrevendo é chamado de medição indireta e forma a espinha dorsal do formalismo do estabilizador. Para entender isso, podemos apenas trabalhar com um elemento geral do grupo Pauli, que no diagrama abaixo é a porta rotulada$P$. Também o$|\phi\rangle$ fio é geralmente um feixe de $n$ fios, e o portão $P$ atua em todos eles (no seu exemplo, é um estado de cinco qubit, e cada qubit único Pauli é $X$, $Z$, ou $I$), mas para este exemplo, vamos assumir que é um único qubit.

Qualquer elemento do grupo Pauli tem um espaço próprio tal que metade dos vectores próprios têm valor próprio +1 e a outra metade tem valor próprio -1. No caso de um único qubit Pauli$P$, podemos chamar esses dois vetores próprios $|\phi_+\rangle$ e $|\phi_-\rangle$, e escreva o estado de entrada nesta base $|\phi\rangle = \alpha |\phi_+\rangle + \beta |\phi_-\rangle $.

Trabalhando a ação do circuito, obtemos

$$ |0\rangle|\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) |\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\phi\rangle + |1\rangle P |\phi\rangle ) \rightarrow \frac{1}{2} (|0\rangle(I + P)|\phi\rangle + |1\rangle(I - P)|\phi\rangle) $$

Isso significa que o resultado que obtemos ao medir a ancilla determina qual operador aplicamos ao (s) qubit (s) de dados. Trabalhando apenas o primeiro termo, como se medíssemos a ancilla e reduzi-la a$|0\rangle$:

$$ \frac{1}{2}(I+P) |\phi\rangle = \frac{1}{2} (I+P) (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle) = \frac{1}{2} (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle + \alpha|\phi_+\rangle - \beta|\phi_-\rangle) = \alpha |\phi_+\rangle $$

Portanto, a ação do operador é projetar em seu autoespaço positivo, condicionado ao resultado ancilla (e você pode verificar se o outro resultado se projeta no autoespaço negativo). Como apenas projetamos em um subespaço, em vez de colapsar em um estado individual, isso é chamado de medição indireta. Para ser claro, neste exemplo$|\phi_+\rangle$ é apenas um raio no espaço de Hilbert, mas você pode imaginar outros projetores como$ZZ$ que definem subespaços pares / ímpares, não raios.

Se nos prepararmos intencionalmente $|\phi\rangle = |\phi_+\rangle$, então a ancilla só pode fornecer 0, porque nenhuma parte do estado dos dados está no eigen (sub) espaço negativo ($\alpha=1, \beta=0$)

Agora, o que acontece se algum erro $U$ ocorre, em algum lugar antes do portão $P$? Uma vez que o erro também é assumido como algum Pauli, ele também tem alguns autoespaços positivos e negativos. Além disso, observe que quaisquer dois elementos do grupo Pauli devem comutar ou anticomutar.

Assuma isso $U$ comuta com $P$: $$ UP = PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = U|\phi_+\rangle $$ então o novo estado de erro $U|\phi_+\rangle$ ainda tem autovalor +1 sob $P$. Medir a ancilla ainda só pode dar$|0\rangle$ (ie $m_Z = +1$)

Agora assuma que $U$ anti-comutação com $P$: $$ UP = -PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = -U|\phi_+\rangle $$ Agora o estado que deveria estar no espaço próprio positivo tem valor próprio -1 sob $P$devido ao erro, então os espaços mudaram! Isso significa que a Ancilla só pode dar$|1\rangle$ após a medição (ou seja $m_Z = -1$)

Desta forma, os erros ($U$) que comutam com os estabilizadores ($P$) são indetectáveis, porque não invertem o sinal das ancillas correspondentes. Mas qualquer erro que interrompa a comutação com pelo menos um estabilizador irá inverter pelo menos um ancilla e podemos detectar o erro. Então, a única coisa que resta é certificar-se de que diferentes erros acionem conjuntos exclusivos de ancillas, que são chamados de síndromes, para que os erros sejam decodificáveis ​​de forma única.

(crédito de imagem para notas do curso TU Delft Fundamentals of Quantum Information)