Qualquer mapa contínuo é homotópico para aquele que assume valores fixos em um número finito de pontos

Aug 17 2020

Deixei $X$ e $Y$ser espaços topológicos. Presumir$X$é localmente contratável e não tem subconjunto denso e finito. Presumir$Y$ está conectado ao caminho.

Dado $n$ pares de pontos $(x_i, y_i)$ Onde $x_i\in X$ e $y_i\in Y$ para $1\leq i\leq n$ e um mapa contínuo $f:X\to Y$ podemos encontrar um mapa contínuo $g:X\to Y$ homotópico para $f$ de tal modo que $g(x_i)=y_i$?

Respostas

13 TylerLawson Aug 17 2020 at 21:29

Deixei $X$ ser a linha real com origem dupla e $Y$ estar $\Bbb R$, e deixar $f$ seja o mapa de projeção que colapsa as duas origens $0^+$ e $0^-$ para $0$. Então qualquer mapa$g: X \to Y$ satisfaz $g(0^+) = g(0^-)$ Porque $\Bbb R$é Hausdorff. Portanto,$f$ não é homotópico a nenhum mapa que envie esses dois pontos para pontos distintos.

Sua pergunta está intimamente relacionada à inclusão $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$tendo a propriedade de extensão de homotopia. Em particular, se for a inclusão de uma deformação de vizinhança retraída, então tais homotopias existem. No exemplo acima, cada ponto individualmente tem uma vizinhança contraível, mas as duas origens juntas não têm uma vizinhança que se retrai sobre elas.