resolvendo$x^3-3x^2+4x-12=0$Sem Fatoração (Método de Cardano)
A questão: resolver$$x^3-3x^2+4x-12=0$$sem usar fatoração (método de Cardano?)
Então, primeiro tenho que deprimir a equação para fazer a substituição$x=z+1$. Sabemos que esta é a substituição porque deve ser da forma$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Isso então nos dá
$$z^3+z-10=0$$
Pelo método de cardano, sabemos que$p=1$e$q=-10$. Assim temos que
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Resolver este sistema dá (eu acredito) para$a$dá
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
e entao
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
Tentei reduzir isso da melhor maneira possível, mas não consigo obter nenhuma das soluções.
Se eu fosse fatorar a equação original, eu deveria obterg
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Então, onde estou cometendo meu erro?
Respostas
Seus cálculos estão corretos, mas é necessário completar o método de Cardano. Depois de ter calculado$a$e$b$, as raízes da cúbica deprimida são as seguintes:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Já que no seu caso$a=1+2/\sqrt{3}$e$b=1-2/\sqrt{3}$(veja abaixo o procedimento de desempilhamento para obter esses valores), as fórmulas fornecem
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Como$x=z+1$, Você tem
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
EDIT: conforme declarado corretamente nos comentários, uma questão fundamental na aplicação do método de Cardano é que, em alguns casos, há a necessidade de desempacotar algumas raízes cúbicas. Isso às vezes pode ser bastante difícil. Alguns métodos foram relatados anteriormente nos links fornecidos em um dos comentários. Eu sugeriria uma abordagem possível que às vezes funciona bem para o radicando da forma$J+K\sqrt{n}$. Os métodos incluem estas etapas:
defina a raiz cúbica na forma$\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, com$J$e$K$inteiros;
suponha que o radicando$A=J\pm K\sqrt{n}$pode ser expresso como$(j\pm k\sqrt{n})^3$, com$j$e$k$números racionais;
depois de expandir$(j\pm k\sqrt{n})^3$e dividindo seus termos em dois grupos cujas somas são iguais a$J$e$K\sqrt{n}$, use as equações resultantes para determinar$j/k$. Este é o passo mais longo, pois requer a busca das raízes racionais de uma nova equação cúbica usando o teorema da raiz racional, que às vezes pode ser complicado;
Finalmente, determine os valores de$j$e$k$.
Para ilustrar melhor este método, vamos experimentá-lo para o caso específico$\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$(o mesmo método pode ser usado para o caso onde o radicando é$5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). Em primeiro lugar, temos que definir o radicando de modo que$J$e$K$são inteiros:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Agora vamos hipotetizar$A=(j+k\sqrt{3})^3$. Portanto
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
para que possamos escrever
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Observe que$j$e$k$tem que ser ambos positivos. Das duas equações acima temos
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Temos agora que tentar determinar$j/k$. Dividindo ambos os membros para$k^3$e movendo todos os termos para o LHS, temos
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Contexto$x=j/k$e simplificando os coeficientes, obtemos
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Usando o teorema da raiz racional, podemos procurar por uma raiz racional$p/q$para a última equação, onde o inteiro$p$divide$135=3^3\cdot 5$e o inteiro$q$divide$26=2\cdot 13$. Para agilizar a busca de uma raiz real, pode-se observar que para$x=1$e$x=2$o LHS dá$-10$e$1$, respectivamente, de modo que o valor de uma raiz real deve estar entre$1$e$2$. Depois de algumas tentativas, obtemos facilmente$x=3/2$. A equação pode então ser reescrita como
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
do qual obtemos diretamente que as outras duas raízes não são reais.
Desde$x=j/k=3/2$, podemos finalmente determinar$j$e$k$fazendo a substituição$k=2j/3$nas equações iniciais. Por exemplo, substituindo na equação$(j^2+9k^2)=135$, temos
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
e lembrando que$j$e$k$são positivos,
$$j=3$$
$$k=2$$
Podemos agora concluir que
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
de modo que a raiz cúbica inicial é
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Novamente, deve-se ressaltar que este método funciona apenas em alguns casos (mesmo quando o racional$j$e$k$existem, o passo limitante mais importante é a busca da raiz racional$x$, que como já foi dito pode ser muito difícil).
Além de substituir de volta$x=z+1$para concluir o processo de solução, você não está errado. O casus irreducibilis é comumente descrito para equações cúbicas com três raízes reais, mas um problema semelhante ocorre quando você tem uma raiz racional (e neste caso não precisa ser todas as três raízes). Na verdade, você não pode simplificar sua expressão radical para recuperar$z=2$analiticamente; você tem que adivinhar a raiz racional de antemão (ou fazer uma estimativa equivalente envolvendo outra equação cúbica estruturada de forma semelhante, conforme discutido em outra resposta).
Quando eu coloco sua expressão para$z$em uma calculadora eu recebo$2.000000...$, que parece bem próximo do valor pretendido de$z=2$.