Se duas variáveis ​​aleatórias $X_1$ e $X_2$ são dependentes, então devem $X_1^2$ e $X_2^2$ ser dependente?

Question

Se duas variáveis ​​aleatórias $X_1$ e $X_2$ são dependentes então $X_1^2$ e $X_2^2$ seja dependente.

Eu acredito que esta afirmação seja falsa. Considerando que$X_1$ e $X_2$ ser dependente implica

$\sigma(X_1)$ é dependente de $\sigma(X_2)$ ou seja, as álgebras sigma geradas por cada RV são dependentes, mas desde $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ e $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ a redução poderia potencialmente levar a álgebras sigma independentes.

O contra-exemplo que criei é

deixei:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ e $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Observe que essas duas variáveis ​​aleatórias são altamente dependentes, mas quando eu elevo ao quadrado $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ e $X_1|X_1=1$assim, as duas variáveis ​​aleatórias quadradas são independentes. Este é um contra-exemplo som?

Answer 1

Seu contra-exemplo funciona, pensado desde o seu $X_2^2$ é constante não é muito revelador, pois é independente de tudo

Outro pode ser ter $A$ e $B$ independentemente padrão normal (média $0$, variância $1$) e

$X_1=A$ enquanto $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Então $X_1$ e $X_2$ são distribuições normais positivamente correlacionadas enquanto $X_1^2$ e $X_2^2$ são distribuições qui-quadradas independentes