Status do primeiro ordinal infinito $\omega$ dentro da análise não padronizada?
Com o recém-descoberto tempo livre durante a pandemia, tenho estudado análises não padronizadas. Eu não gostava muito de ultrafiltros, então gravitei em torno da teoria dos conjuntos internos de Nelson e da teoria dos conjuntos de Hrbacek. Embora eu prefira o último, tenho mais experiência com o trabalho de Nelson, então vou formular as coisas em termos de IST.
Eu tenho conhecimento básico de números ordinais na teoria dos conjuntos, dos quais $\omega$é o primeiro. Quero saber onde o conjunto se encaixa no IST. É simplesmente um número hiperfinito padrão? Intuitivamente, o fato de$\omega > n$ para cada número natural $n$, me fez supor que $\omega$ poderia ser um membro de ${}^*\mathbb{N}$, pois esta é a propriedade definidora desses números naturais. Eu encontrei um artigo ( Taras Kudryk et al., 2004 ) mencionando inteiros hiperfinitos padrão que provou em sua proposição 2.1 que:
Existe um $\mathbf{standard}$ R-infinito [ou seja, em ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] número hipernatural.
Pelo que entendi, cada conjunto definido exclusivamente no ZFC sem referência ao predicado padrão é padrão. Portanto, o primeiro ordinal transfinito$\omega$é um conjunto padrão. Com isso, espero provar que$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. No entanto, ao mesmo tempo, recordo que não existe o menor número natural hiperfinito. Isso parece contradizer o fato de que$\omega$ é o menor número ordinal.
Neste ponto, minha falta de experiência com a teoria dos conjuntos provavelmente está aparecendo. Olhando para as questões que discutem as diferenças entre$\omega$ e $\mathbb{N}$me faz perceber que posso estar sobrecarregado aqui. Posso ter alguns esclarecimentos daqueles com mais experiência com a teoria dos conjuntos e suas extensões não padronizadas? Onde$\omega$ (e realmente os números ordinais em geral) se encaixam no IST?
Respostas
O menor ordinal de von Neumann transfinito $\omega$ e os elementos de ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$são tipos de objetos completamente diferentes. Perguntar "faz$\omega$ pertence ao conjunto ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "não faz muito sentido, da mesma forma que perguntar" o grupo $S_3$ contém o conjunto $\mathbb{R}$ como um elemento? "não faz muito sentido.
Posso arranjar uma situação em que a resposta à última pergunta seja tecnicamente sim. Por exemplo, definindo o grupo$S_3$ como o grupo com conjunto subjacente $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ e com tabuada
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
nós não temos só isso $\mathbb{R} \in S_3$, mas também aquele $\mathbb{R}$ é o elemento de identidade de $S_3$. Obviamente, isso é um detalhe técnico sem sentido e não deve ser confundido com uma relação matemática entre o grupo$S_3$ e os números reais $\mathbb{R}$.
Dependendo da construção da extensão ${}^*\mathbb{N}$, você pode providenciar para fazer $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ segure, mas isso não ensina nada sobre os ordinais: você poderia organizar, por exemplo $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ exatamente da mesma maneira.
Com isso fora do caminho, há uma maneira matemática natural em que o ordinal $\omega$corresponde a algum número natural não padronizado fixo? A resposta a essa pergunta é não, e permanece não mesmo se substituirmos "número natural não padrão fixo" por "elemento padrão fixo de${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ Onde ${}^*\mathbb{N}$ denota alguma hiperextensão padrão de $\mathbb{N}$"(na verdade, sugiro evitar essas noções mistas de IST e NSA robinsoniana até que você se sinta muito mais confortável com ambos os formalismos).
O mesmo se aplica à sua pergunta implícita sobre a obtenção de números não padronizados "concretos": você não será capaz de determinar nenhum número não padronizado concreto usando os axiomas IST. A única maneira de construir números não padrão é por meio da Idealização (se você omitir o axioma da Idealização do IST, é consistente com o sistema resultante que todos os objetos são padrão), e pode-se construir modelos de IST onde cada especificação por Idealização (essencialmente todos os não isolado tipo 1) é realizado por pelo menos dois elementos diferentes do modelo.