Superfícies de Riemann elípticas, parabólicas e hiperbólicas: classificação?

Aug 17 2020

No livro de Kra e Farkas sobre as superfícies de Riemann, é dada a seguinte definição (ligeiramente incomum):

Definição IV.3.2 ( Seção IV.3 ). Deixar$M$seja uma superfície de Riemann. vamos ligar$M$ elíptica se e somente se$M$é compacto. vamos ligar$M$ parabólica se e somente se$M$não é compacto e$M$não carrega uma função subharmônica não negativa. vamos ligar$M$ hiperbólico se e somente se$M$carrega uma função subharmônica não constante negativa.

Pergunta. Existe alguma maneira geométrica de caracterizar superfícies parabólicas e hiperbólicas? Por exemplo, suponha$M$é uma superfície de Riemann compacta e$x_1,\ldots, x_n$são pontos nele. é a superfície$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$parabólico?

Respostas

2 AlexandreEremenko Aug 17 2020 at 21:24

Esta é uma terminologia um tanto incomum, mas é comum na teoria de classificação de superfícies abertas de Riemann. A notação mais padrão é$P_G$para "parabólica" e$O_G$para "hiperbólico".

A superfície$M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$é parabólico neste sentido, pelo "teorema da singularidade removível" (uma função subharmônica que é limitada de cima em uma vizinhança perfurada do ponto se estende a uma função subharmônica na vizinhança completa).

Existem alguns critérios, especialmente, para superfícies da forma$M\backslash E$, Onde$M$é compacto e$E$é um subconjunto fechado. Mas esses critérios não são muito geométricos: eles usam capacidade. Alguns resultados podem ser dados em termos de medidas Hausdorff de$E$mas não são "necessários e suficientes".

Resultados clássicos podem ser encontrados nos livros

M. Tsuji, Teoria do potencial na teoria da função moderna, Maruzen, Tóquio, 1959 (há uma reimpressão da AMS).

Ahlfors, Sario, superfícies Riemann, Princeton UP, 1960.