Transformação logarítmica de uma função de verossimilhança

Question

Eu tenho uma função de verossimilhança$$ L(\theta;\mathbf x) = \frac{\prod x_i^{\nu-1} \exp\left( -\sum x_i/\theta \right) }{\theta^{\nu n} [\Gamma(\nu)] } \qquad x>0 $$

Ele é transformado em log na seguinte fórmula$$ \ln L(\theta;\mathbf x) = \text{constant} - \frac{n\overline x} \theta - \nu\theta\ln\theta $$

Duas questões:

1. Obtenho o mesmo resultado quando realizo a transformação sozinho, exceto que, além do resultado acima, recebo um termo extra$n\bar{x}(\nu-1)$- por que não deveria estar lá?

1. Também eu recebo${}-\text{const}$ao invés de${}+\text{const}$, mas suponho que por ser um valor constante arbitrário, então$+$ou$-$funciona?

Answer 1

Neste contexto, "constante" significa não depender de$\theta.$Todos os termos que não dependem de$\theta$são constantes. Em particular, muitas vezes a próxima coisa que se faz depois de calcular o logaritmo é diferenciar em relação a$\theta,$e então todo termo não dependendo de$\theta$desaparece.