Você pode dobrar um quadrado em um quadrado de um quinto da área?
Eu amo origami, e recentemente me deu uma ideia para um quebra-cabeça muito difícil, mas bonito. Estou muito curioso para saber se alguém aqui pode resolver isso.
Então aqui está o quebra-cabeça. Você recebe um grande pedaço de papel perfeitamente quadrado, sem marcas nele. Com este quadrado, você deve fazer um quadrado de exatamente um quinto da área do quadrado original. Você não recebe ferramentas como régua ou tesoura, e tudo o que você pode fazer é dobrar o papel. Como voce resolve isso?
Respostas
A maneira de fazer isso é:
- Dobre o papel ao meio ao longo de ambos os eixos. Você agora marcou o ponto médio de todos os quatro lados.
- Dobre ao longo das diagonais de movimento do cavalo, desenhadas aqui:
Isso cria o quadrado vermelho. Todas as cinco regiões coloridas têm a mesma área, então o quadrado vermelho tem 1/5 do tamanho do quadrado com o qual você começou.
Dobre o papel horizontalmente exatamente no meio; dobre cada um dos dois$1\times\frac 1 2$retângulos diagonalmente de modo que as duas diagonais sejam paralelas. Gire o papel um quarto de volta e faça exatamente o mesmo. As quatro diagonais que você acabou de criar encerram um quadrado de área$\frac 1 5$.
Precisamos mostrar que a distância entre duas diagonais paralelas é $\frac 1 {\sqrt 5}$. Essa distância é igual à altura sobre a diagonal de um dos grandes triângulos que criamos. Esses triângulos têm área$\frac 1 4$ enquanto o comprimento da base, ou seja, o comprimento de uma diagonal é $\frac {\sqrt 5} 2$. A declaração segue imediatamente.
aqui está uma solução que eu acho que usando de forma semelhante, podemos ter qualquer fração quadrada desejada.
(imp, a longa linha cinza é a primeira linha cinza, a relativamente mais curta é a segunda linha cinza.)
1. o que fazemos é obter as linhas azuis primeiro dobrando ao meio várias vezes; neste caso, obtemos 1/8 da divisão.
2. Pegue cinco dessas divisões contínuas da borda direita.
3. dobre o papel para encontrar o canto superior direito do quadrado cheio e o ponto que é a extremidade inferior da 5ª linha azul (na imagem uma linha azul se sobrepõe ao preto que é a 4ª linha azul).
4. obtemos a linha cinza juntando o "fim da 5ª linha azul" e "um canto". 5. não, temos um triângulo com lados x e (5/8) * x;
6. Faça uma operação semelhante para a segunda linha cinza do triângulo (com lados x e (3/8) * x), desta vez use o ponto final da 3ª linha azul.
7. dobre a borda superior do papel para obter a linha verde de comprimento x / 8 que cruza a primeira linha cinza e a borda direita do papel. (Pode ser feito facilmente)
8. a região da linha verde entre as 2 linhas cinza é comprimento x / 20. >! 9. dobre a borda direita para obter a linha vermelha que passa do ponto de intersecção da linha verde com a 2ª linha cinza.
10. agora temos essa medida de comprimento x / 20 em um lado que podemos copiar 4 vezes dobrando o papel para obter o comprimento x / 5 e depois fazer um quadrado.
Agora, quando temos x / 5 de comprimento, tomaremos x / 5 de comprimento em uma borda, digamos, na borda direita e 2x / 5 de comprimento na borda superior (portanto, esses 2 comprimentos são perpendiculares entre si)
este x / sqrt (5) pode ser usado para criar um quadrado de área 1/5 do maior;
imgur ainda é lento PS: Eu cometi um grande erro antes e consegui 1/5 do comprimento, a edição agora dá 1 / sqrt (5) comprimento
PS: Podemos generalizar para obter qualquer fração de área se a fração puder ser escrita como a soma de 2 quadrados, significa aqui 5 = 2 2 + 1 1, também se você estiver realmente trabalhando duro, poderá obter quaisquer frações desejadas, mas você tem que fazer essas últimas etapas várias vezes.
Não é uma resposta. Aqui está apenas uma animação para visualizar a bela resposta de Deusovi . Espero que você goste.
Ampliando a resposta de Deusovi, você pode dobrar um quadrado em qualquer quadrado de fração da fração $n^2/(a^2+b^2)$, Onde $n <= a-b$.
Alcançar $1/5$, escolha $n=1$, $a=2$, $b=1$.
Divida as bordas em $a$partes iguais. Em seguida, dobre as linhas "movimentos de cavaleiro"$(a,b)$. Isso vai gerar$(a-b)^2$ quadrados de tamanho $1/(a^2+b^2)$. Agora reúna$n^2$ destes para gerar a fração desejada.