ตัวอย่าง isomorphisms ของ Lie algebras

Question

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของ isomorph Lie Algebra 2 algebras เป็นไอโซมอร์ฟถ้ามีฟังก์ชันเชิงเส้นแบบไบเจกทีฟ$g_1 \rightarrow g_2$ แผนที่ทั้งหมด $X,Y \in g_1$ ชอบ $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

ดังนั้น 2 Lie algebras ที่ฉันคิดได้ว่าน่าจะเป็นผลิตภัณฑ์ที่ข้ามมา ${\rm I\!R}^3$ และพีชคณิตคอมมิวเตเตอร์ของ Vectorfield ที่ไม่แปรผันทางซ้าย แต่ฉันไม่สามารถนึกถึงฟังก์ชันที่แมปพวกมันอย่างที่ฉันระบุไว้ก่อน

Answer 1

ตัวอย่างเรียงลำดับคร่าวๆจากง่ายไปหายาก:

1. ปล่อย $\mathfrak g$เป็นพีชคณิตโกหก แผนที่ข้อมูลประจำตัว$x \mapsto x$ คือ isomorphism จาก $\mathfrak g$ กับตัวเอง

2. ปล่อย $V$, $W$ เป็นเวกเตอร์ช่องว่างบนฟิลด์ $k$และกำหนดวงเล็บเหลี่ยมโกหกเป็น $[v_1, v_2] = 0$ และ $[w_1,w_2]=0$ เพื่อทุกสิ่ง $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. แสดงว่าโกหก algebras$V$ และ $W$ (ด้วยวงเล็บเหล่านี้) เป็นไอโซมอร์ฟิกถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $V$ และ $W$มีมิติเดียวกัน (นี่ควรเป็นเพียงการตรวจสอบที่คุณเข้าใจว่า isomorphisms ของปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งเป็นพื้นฐานสัมบูรณ์ของพีชคณิตเชิงเส้น)

3. ปล่อย $k$ เป็นฟิลด์ใดก็ได้และ $\mathfrak{gl}_n(k)$ พีชคณิตโกหกมอบให้โดยทุกคน $n \times n$-matrices มากกว่า $k$ด้วยวงเล็บ Lie ที่กำหนดโดยตัวสับเปลี่ยนเมทริกซ์ $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (ที่ไหน $\cdot$คือการคูณเมทริกซ์ตามปกติ) ปล่อย$g$จะกลับหัวได้ $n\times n$-matrix มากกว่า $k$กล่าวคือองค์ประกอบของ $\mathrm{GL}_n(k)$. แสดงว่าแผนที่$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ คือ isomorphism จาก $\mathfrak{gl}_n(k)$ให้กับตัวเองเช่นการแปรสภาพอัตโนมัติของ$\mathfrak{gl}_n(k)$.

4. ปล่อย $\mathfrak{gl}_n(k)$เป็นไปตามตัวอย่างก่อนหน้า แผนที่ซึ่งส่งแต่ละเมทริกซ์ไปยังทรานสโพสเชิงลบ$$ A \mapsto -A^T$$ คือ isomorphism จาก $\mathfrak{gl}_n(k)$ให้กับตัวเองเช่นการแปรสภาพอัตโนมัติของ$\mathfrak{gl}_n(k)$.

5. ปล่อย $k$ เป็นฟิลด์ใดก็ได้ $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ สองมิติ $k$- พื้นที่เวกเตอร์ที่มีพื้นฐาน $v_1, v_2$ และวงเล็บเหลี่ยม $[v_1, v_2] = v_2$. ปล่อย$\mathfrak g_2$ เป็นอีกสองมิติ $k$- พื้นที่เวกเตอร์ที่มีพื้นฐาน $w_1,w_2$ และ $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. ค้นหา isomorphism ของ Lie algebras$\mathfrak g_1$ และ $\mathfrak g_2$.

6. ปล่อย $\mathfrak g_1$ และ $\mathfrak g_2$ เป็นไปตามตัวอย่างก่อนหน้านี้ยกเว้นตอนนี้วงเล็บโกหก $\mathfrak g_2$ ให้โดย $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ ที่ไหน $c \in k^\times$ และ $a \in k$. ค้นหาไอโซมอร์ฟิซึมอีกครั้ง$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (สำหรับนี้และตัวอย่างก่อนหน้านี้ cf เลยClasssifying 1- 2- มิติ Algebras ถึงมอร์ฟ , วิธีการได้รับมอร์ฟอย่างชัดเจน (ตามที่กำหนดอย่างชัดเจน) ระหว่างสอง algebras โกหก nonabelian ของมิติ$2$, พีชคณิตโกหกสองมิติ , พีชคณิตโกหกสองมิติ - เรารู้อะไรโดยไม่รู้จัก Bracket? )

7. ปล่อย $k$ เป็นสาขาลักษณะใดก็ได้ $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ พีชคณิตโกหกของไร้ร่องรอย $2 \times 2$-matrices (พร้อมวงเล็บเหลี่ยมที่ระบุตามตัวอย่างที่ 3) ปล่อย$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (รูปแบบการแยกของ $\mathfrak{so}_3$") ด้วย Lie bracket ที่กำหนดโดย matrix commutator ค้นหา isomorphism ระหว่าง Lie algebras ทั้งสองนี้ (เปรียบเทียบThe Lie algebras$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ และ $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, หลักฐานโดยตรงว่า$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Isomorphism ที่ชัดเจนระหว่างพีชคณิตโกหก Orthogonal สามมิติกับพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษของมิติ$3$ และลิงก์ในนั้น)

8. ปล่อย $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (พื้นที่ย่อยจริงสามมิติของ $2 \times 2$เมทริกซ์ที่ซับซ้อน); โน้มน้าวตัวเองอีกครั้งด้วยวงเล็บโกหกที่กำหนดโดยเมทริกซ์คอมมิวเตเตอร์ (ดังตัวอย่างที่ 3) นี่คือพีชคณิตโกหก แสดงว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกถึง$\mathbb R^3, \times$เช่นพีชคณิตโกหกจริงสามมิติที่มีวงเล็บเหลี่ยมที่กำหนดโดยผลิตภัณฑ์กากบาท (เปรียบเทียบทำไมถึงมีปัจจัยของ$2$ ใน isomorphism $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$เหรอ? . นี่ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่คุณพูดถึงในคำถาม)

9. ค้นหาไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ และความเบ้ - สมมาตร $4\times 4$ เมทริกซ์มากกว่า $\mathbb C$. (เปรียบเทียบisomorphism อย่างชัดเจนระหว่างพีชคณิตโกหกมุมฉากทั้งสี่มิติกับผลรวมโดยตรงของอัลเกบราสเชิงเส้นพิเศษของมิติที่ 3 )

10. ค้นหาไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างผลรวมโดยตรงของสมมาตรเอียง $3 \times 3$ เมทริกซ์จริงกับตัวมันเองและ$4 \times 4$เมทริกซ์สมมาตรเอียงจริง (เปรียบเทียบIsomorphism ระหว่าง$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ และ $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

11. สำหรับ $\mathfrak g$พีชคณิตโกหกจริงส่วนขยายสเกลาร์ / การทำให้ซับซ้อน $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ เป็นพีชคณิตโกหกที่ซับซ้อนที่มีวงเล็บเหลี่ยมที่กำหนดโดยส่วนขยายทวิลิเนียร์ของ $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. ง่าย: แสดงว่าความซับซ้อนของ$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ isomorphic ถึง $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. ยากกว่า: สำหรับ$\mathfrak{su}_2$ ตามที่กำหนดไว้ในตัวอย่างที่ 8 แสดงให้เห็นว่าการทำให้ซับซ้อน $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ ยังเป็น isomorphic ถึง $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. โบนัส: แสดงให้เห็นว่าทั้งๆที่เป็นอัลเกบราสตัวจริง$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ และ $\mathfrak{su}_2$มีไม่ isomorphic กับแต่ละอื่น ๆ (เปรียบเทียบการเชื่อมต่อที่แม่นยำระหว่างความซับซ้อนของ$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ และ $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$มีความซับซ้อนของพีชคณิตโกหก$\mathfrak g_{\mathbb C}$ เทียบเท่ากับโครงสร้างพีชคณิตโกหก $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$เหรอ? และอื่น ๆ อีกมากมาย)

ยังพยายามหาโกหก isomorphisms