2 Fragen zum Ring$\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Ich bin nicht in der Lage, diese spezielle Frage in der Ringtheorie zu lösen. Das wurde in einer Meisterprüfung gefragt, auf die ich mich vorbereite.
Lassen$A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$.
(a) Beweisen Sie das$A$ist das direkte Produkt zweier Integraldomänen.
(b) Ist der Ring$A$isomorph zu$\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
Ich kann es wissen$X^{3}-1$dass jetzt Elemente wären$ax^2+bx+c$,$a,b,c$zugehörig$\mathbb{Q}$. Aber ich habe keine Ahnung, welche direkten Produkte aus welchem Integralbereich diesen Ring bilden werden.
Auch für 2. habe ich Probleme beim Definieren einer Karte da$X^3$wirkt als -1 im 2. Ring. Karte gefällt mir nicht$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$würde funktionieren, da diese Karte nicht funktioniert$1-1$.
Also, kann mir bitte jemand sagen, wie ich diese beiden Probleme angehen soll.
Antworten
TIPP :
(a) Verwenden Sie den chinesischen Restsatz , der das für einen Ring besagt$A$und Ideale$\mathfrak a,\mathfrak b$von$A$so dass$\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$,$A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Weiterhin ein Quotientenring$\mathbb Q[X]/(f(X))$ist ein Integralbereich gdw$(f(X))$ist ein Primideal gdw$f(X)$ist irreduzibel (da$\mathbb Q[X]$ist eine PID).
(b) Ich behaupte$\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$ist ein Isomorphismus. Prüfen Sie, ob alle Axiome gelten.
(a) Wie Kenta S. sagte, seitdem$1=(x^2-x+1)+x(x-1)$und$(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, wir haben$\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$und so$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$nach dem chinesischen Restsatz. Deutlich,$x^2-x+1$und$x-1$sind irreduzibel. Somit,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$und$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$sind Domänen.
(b) Es ist klar,$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Ebenfalls,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$durch$x\to -x$. Somit,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.