Allgemeine Flugzeugbewegung und frei schwebender starrer Körper
Reichen die oben angegebenen Informationen aus, um die neue Pose zu finden? $\mathbf{T'}$? Wenn nicht, welche Informationen fehlen und wie gehe ich vor, um den neuen Wert von zu finden$\mathbf{T'}$?.
Kommentare und Vorschläge sind willkommen :)
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In einfachen Worten, was ich finden möchte, ist eine Lösung (wenn möglich), die so etwas wie sagt: Verschieben Sie die Platte um so und so viel in $x$, $y$ und $z$ Richtung und dann um so und so viel drehen $x,y$ und $z$Achse jeweils so, dass die Platte bei landet$\mathbf{T'}$.
Bitte beachten Sie, dass die Kräfte während des kurzen Zeitintervalls konstant bleiben $\Delta t$.
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Sie müssen diese Gleichungen lösen
\begin{align*} &m\,\boldsymbol{\ddot{R}}=\boldsymbol{S}(\boldsymbol\varphi)\,\sum_i\,\boldsymbol{F}_i\\ &\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol{\dot{\omega}}+\boldsymbol\omega\times\,\left(\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol\omega\right) =\sum_i \left(\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{F}_i\right)\\ &\boldsymbol{\dot\varphi}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol\omega \end{align*} mit den Anfangsbedingungen \begin{align*} &\boldsymbol{R}(0)= \boldsymbol{R}_0\\ &\boldsymbol{\dot{R}}(0)= \boldsymbol{0}\\ &\boldsymbol{\varphi}(0)=\boldsymbol{\varphi}_0\\ &\boldsymbol\omega(0)=\boldsymbol{0} \end{align*}
wo
- $\boldsymbol{S}$ Rotationsmatrix zwischen Körpersystem und Trägheitssystem
- $\boldsymbol{R}$ Schwerpunkt-Positionsvektor
- $\boldsymbol{\omega}$ Winkelgeschwindigkeit
- $\boldsymbol{\varphi}=\left[\alpha~,\beta~,\gamma\right]^T$ die Euler-Winkel
- $\boldsymbol\Theta$ Trägheitstensor \begin{align*} \boldsymbol\Theta= \left[ \begin {array}{ccc} \frac{m}{12}\, \left( {w}^{2}+{t}^{2} \right) &0&0 \\ 0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{t}^{2} \right) &0 \\ 0&0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{w}^{2} \right) \end {array} \right] \end{align*}
Aus der Lösung der Differentialgleichungen ergibt sich die Position des Massenschwerpunktes $~\boldsymbol{R}(t)~$ und die Körperrotationsmatrix $~\boldsymbol{S}(t)$
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wie man die Matrix erhält $~\boldsymbol{A}$
Sie beginnen mit der Rotationsmatrix zum Beispiel:
\begin{align*} &\boldsymbol S=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \alpha \right) &-\sin \left( \alpha \right) \\ 0& \sin \left( \alpha \right) &\cos \left( \alpha \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left( \beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin \left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \gamma \right) &-\sin \left( \gamma \right) &0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ 0&0&1\end {array} \right]\\\\ &\text{with}\\ &\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right] =\boldsymbol{S}^T\,\frac{d}{dt}\,\boldsymbol{S}\\ &\Rightarrow\\ &\begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{bmatrix}=\underbrace{\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) \cos \left( { \gamma} \right) &\sin \left( {\gamma} \right) &0\\ - \cos \left( \beta \right) \sin \left( {\gamma} \right) &\cos \left( { \gamma} \right) &0\\ \sin \left( \beta \right) &0&1 \end {array} \right] }_{\boldsymbol{J}_R}\,\begin{bmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\ \end{bmatrix}\\ &\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{J}_R\right]^{-1}= \left[ \begin {array}{ccc} {\frac {\cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&-{\frac {\sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ -{\frac { \sin \left( \beta \right) \cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&{\frac {\sin \left( \beta \right) \sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&1\end {array} \right] \end{align*}
Die Anfangsbedingungen $~\boldsymbol{\varphi}_0=\left[\alpha_0~,\beta_0~,\gamma_0\right]$
mit:
\begin{align*} & \boldsymbol{S}_{t=0}=\left[ \begin {array}{ccc} m_{{1,1}}&m_{{1,2}}&m_{{1,3}} \\ m_{{2,1}}&m_{{2,2}}&m_{{2,3}} \\ m_{{3,1}}&m_{{3,2}}&m_{{3,3}}\end {array} \right]\\\\ &\text{with}~\boldsymbol S= \boldsymbol{S}_{t=0}\\ &\Rightarrow\\ &\tan \left( \alpha_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{2,3}}}{m_{{3,3}}}}\\ &\tan \left( \gamma_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{1,2}}}{m_{{1,1}}}}\\ &\sin \left( \beta_{{0}} \right) =m_{{1,3}} \end{align*}
Die Translationsbewegung des Massenschwerpunkts (CM) ergibt sich aus der Lösung des zweiten Gesetzes: $Md \vec V/dt = \vec F_{ext}$ wo $M$ ist die Gesamtmasse, $\vec V$ ist die Geschwindigkeit des CM und $\vec F_{ext}$ist die äußere Nettokraft. Dies gilt für jedes Partikelsystem in einem starren Körper oder nicht.
Die folgende Diskussion der Drehbewegung setzt einen starren Körper voraus. Die Drehbewegung um den sich bewegenden Schwerpunkt ist kompliziert zu bewerten; Trägheit ist beispielsweise ein Tensor für die allgemeine 3D-Rotation. Ein typischer Ansatz besteht darin, zuerst die Hauptachsen für den Körper zu finden. Achsen, für die die Trägheitsprodukte im Trägheitstensor Null sind. Die Hauptachsen bilden die Körperachsen, die im Körper mit Ursprung am CM fixiert sind. Die Körperachsen drehen sich mit dem Körper. Um die Bewegung in Bezug auf einen festen Satz von Raumachsen mit Ursprung am CM zu bewerten (die Raumachsen sind fest und drehen sich nicht), können die Eulerschen Winkel verwendet werden. Dann kann die Rotationsbewegung mit einem Lagrange unter Verwendung der Eulerschen Winkel modelliert werden. Dieser Ansatz wird in vielen Tests der Physik der Mittelstufe / Fortgeschrittenen diskutiert, z. B.: Symon, Mechanics und Goldstein, Classical Mechanics. Ich schlage vor, dass Sie ein solches Lehrbuch konsultieren, um Einzelheiten und Beispiele zu erfahren, wie Sie die Hauptachsen, die Bewegung eines symmetrischen Verdecks und die drehmomentfreie Bewegung identifizieren können. Im Allgemeinen sind numerische Ansätze erforderlich, insbesondere für nicht symmetrische Körper.
Zusätzlich zu den von Ihnen angegebenen Informationen wird auch die Dichte der Platte benötigt, um die auszuwertenden Gleichungen aufzustellen $T'$unter Verwendung des oben zusammengefassten Ansatzes. Die Hauptachsen für Ihre Platte - bei konstanter Dichte - sind aufgrund der Symmetrie leicht zu identifizieren
Das Drehmoment, das aus einem Punkt eines Trägheitsrahmens berechnet wird (zum Beispiel der Ursprung $O_G$) ist die zeitliche Ableitung des gesamten Drehimpulses: $$\tau = \frac{d\mathbf L}{dt}$$
Und der Drehimpuls der Platte zu einem bestimmten Zeitpunkt ist:
$$\mathbf L = \int_v \mathbf r_G \times d\mathbf p = \int_v \mathbf r_G \times \frac{d\mathbf r_G}{dt} \rho dv$$
Wo $\mathbf r_G$ ist der Positionsvektor der Punkte der Platte vom Ursprung $O_G$. Gleichzeitig ist das Drehmoment bekannt, wenn man die Kräfte und ihre Positionen in der Platte kennt:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{Gi} \times \mathbf F_i$$
Wenn wir dieses Drehmoment mit der zeitlichen Ableitung des Intergrals des Drehimpulses gleichsetzen, haben wir eine Differentialvektorgleichung in $\mathbf r_G$ und $\frac{d\mathbf r_G}{dt}$, das sollte mit den Randbedingungen gelöst werden, dass $\frac{d\mathbf r_G}{dt} = 0$ wann $t = 0$.
Dieses Verfahren gilt auch dann, wenn der Körper nicht starr ist. Diese zusätzliche Einschränkung bedeutet jedoch, dass sich die Abstände zu einem anderen Punkt für jeden Punkt des Körpers nicht mit der Zeit ändern. Auswahl der Achse parallel zum globalen Koordinatenrahmen$O_G$, aber mit Ursprung an einem beliebigen Punkt des Körpers, nach kurzer Zeit $\Delta t$ Die Position aller anderen Punkte bewegt sich gemäß der infinitesimalen Rotationsmatrix $R$.
$$\Delta \mathbf r_b = R\mathbf r_b - \mathbf r_b = (R - I)\mathbf r_b \implies \frac{d \mathbf r_b}{dt} = \Omega \mathbf r_b$$
Wo $\mathbf r_b$ sind die Positionsvektoren relativ zum ausgewählten Ursprung im Körper und $\Omega$ ist die Matrix:
\ begin {Bmatrix} 0 & - \ omega_3 & \ omega_2 \\ \ omega_3 & 0 & - \ omega_1 \\ - \ omega_2 & \ omega_1 & 0 \ end {Bmatrix}
Das $\omega$sind die momentanen Winkelgeschwindigkeiten relativ zur Koordinatenachse. Das Kreuzprodukt im Integral des Drehimpulses wird:
$$\mathbf r_b \times \frac{d\mathbf r_b}{dt} = \mathbf r_b \times \Omega \mathbf r_b$$
Durch Erweitern des Kreuzprodukts kann der Drehimpuls zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zum Punkt im Körper ausgedrückt werden als: $\mathbf L = (\int_v \rho M dv) \omega$
wo $M$ ist die quadratische Matrix:
\ begin {Bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ –yx & (z ^ 2 + x ^ 2) & -yz \\ -zx & –zy & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {Bmatrix}
und $\omega$ ist die Spaltenmatrix:
\ begin {Bmatrix} \ omega_1 \\ \ omega_2 \\ \ omega_3 \ end {Bmatrix}
Insbesondere wenn der ausgewählte Punkt im Körper die COM ist, können wir das zweite Newtonsche Gesetz für seine Bewegung verwenden:
$$\sum_{i=1}^n\mathbf F_i = m \frac{d\mathbf v_{COM}}{dt}$$
Und setzen Sie das Drehmoment relativ zum COM mit der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses auch relativ zum COM gleich:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{COMi} \times \mathbf F_i = \frac{d(\int_v \rho M dv) \omega}{dt}$$
Natürlich vereinfacht das Integral viel, wenn die Dichte konstant ist und wenn zufällig die Kräfte den Körper um eine der drei Hauptträgheitsachsen drehen.
In einer kurzen Antwort "Ja" ist es ausreichend. Jeder starre Körper hat 6 Freiheitsgrade, 3 translatorische 3 Rotationsgrade. In bestimmten Fällen; 3 Die Beschreibung einer unabhängigen Variablen für die Rotation führt zu Singularitätsproblemen, bei denen die Rotation nicht definiert werden kann. Daher wird mit der Einführung einer neuen Variablendrehung mit 4 Variablen beschrieben, wobei sie mit einer Gleichung, die als Beschränkungsgleichung bezeichnet wird, voneinander abhängen. Daher hat der starre Körper selbst mit 4 Drehparametern nur insgesamt 6 Freiheitsgrade. In deinem Fall;
Sie definieren den Wert der sechs Positionsvariablen, den Wert der sechs Geschwindigkeitsvariablen und den Wert der sechs Beschleunigungsvariablen aufgrund von Kräften. Wo alles vollständig definiert ist.
Ihr Problem ist also ein "gut definiertes" Problem.