Analog zur speziellen orthogonalen Gruppe für singuläre quadratische Formen

Dec 14 2020

Die spezielle orthogonale Gruppe $SO(n)$ ist die Untergruppe der speziellen linearen Gruppe $SL(n)$ von $n\times n$Matrizen mit Determinante, die eine nicht entartete symmetrische bilineare Form bewahren. Wenn eine solche bilineare Form als diejenige angesehen wird, die der Identitätsmatrix zugeordnet ist, dann$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$Gibt es eine schöne Beschreibung der Gruppe, die eine singuläre symmetrische bilineare Form beibehält? Zum Beispiel, wenn wir nehmen$I_{k}=(a_{i,j})$ die Matrix mit sein $a_{i,i} = 1$ zum $1\leq i\leq k$, $a_{i,i} = 0$ zum $k+1\leq i\leq n$, und $a_{i,j} = 0$ zum $i\neq j$Wie können wir dann die Gruppe beschreiben? $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ der Determinante eine Matrizen konservieren $I_k$?

Vielen Dank.

Antworten

7 YCor Dec 14 2020 at 00:37

Ja, es ist im Allgemeinen ziemlich unmittelbar, über ein beliebiges Feld (sagen wir mit $0\neq 2$). Lassen$m$ Seien Sie die Dimension des Kernels und korrigieren Sie einen zusätzlichen Unterraum.

Dann unter dieser Zerlegung die quadratische Form $q$ schreibt als $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$mit $q_0$nicht entartet. Dann ist die orthogonale Gruppe$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ Bestimmtes, $\mathrm{SO}(q)$ besteht aus diesen Determinantenmatrizen $1$dh die diagonalen Blöcke haben beide Determinanten $1$ oder beides $-1$ (Letzteres ist möglich, wenn beide Blöcke ungleich Null sind, dh $q\neq 0$ und $q$ ist entartet: in diesem Fall $\mathrm{SO}(q)$ hat 2 Komponenten als algebraische Gruppe, während für $q=0$ oder $q$ nicht entartet, es hat eine einzelne Komponente).


Es gibt eine ähnliche Beschreibung für alternierende Formen, die orthogonale Gruppe $\mathrm{O}(q_0)$durch eine symplektische Gruppe ersetzt werden. Die symplektische Gruppe ist bereits bestimmend$1$wird dann in allen Fällen die Determinantengruppe 1 einer alternierenden Form verbunden.


Weitere Konsequenzen der Beschreibung: Daraus folgt auch, dass das unipotente Radikal ($\mathrm{Mat}_{n,m-n}$) von $\mathrm{SO}(q)$ist in seiner abgeleiteten Untergruppe enthalten; Es befindet sich in der abgeleiteten Untergruppe der verbundenen Komponente$\mathrm{SO}(q)^\circ$ es sei denn $(n-m,m)=(1,1)$. Auch wenn$\min(n-m,m)\ge 2$, wir sehen das $\mathrm{SO}(q)^\circ$ ist perfekt.