Annäherung an die Physik mit gewöhnlicher Analyse anstelle einer nicht standardmäßigen Analyse
Soweit ich weiß, wird in der Physik der Kalkül mit einer nicht standardmäßigen Analyse angegangen, bei der $dx$, $dy$usw. (Infinitesimale) werden als feste, extrem kleine Mengen behandelt und nicht als Standardanalyseansatz unter Verwendung von Grenzwerten, bei denen sie als etwas behandelt werden, das sich nähert $0$.
Ich verstehe, dass der nicht standardisierte Ansatz sehr intuitiv und leicht zu verstehen ist. Tatsächlich hatte ich bis vor einigen Tagen mit dem nicht standardmäßigen Ansatz gerechnet, als ich auf die philosophischen Fragen im Zusammenhang mit Infinitesimalen stieß. Ich war aufgrund dieses Ansatzes äußerst verwirrt und als ich mich dem Kalkül mit Grenzen näherte, hatte ich das Gefühl, ein ganz neues Maß an Verständnis und konzeptioneller Klarheit gewonnen zu haben.
Nun, in der Physik, für eine Funktion $f$, $f'(x)$ oder $\dfrac{df}{dx}$ wird als Änderungsrate von interpretiert $f(x)$ mit einer sehr kleinen Änderung in $x$dh $dx$. Es wird auch als ungefähr die Steigung der Tangente an die Kurve von interpretiert$f$ beim $(x,f(x))$. Dieser Ansatz und diese geometrische Intuition werden auch verwendet, um den Grundsatz des Kalküls abzuleiten, der besagt, dass wenn$F(a)$ gibt die Fläche unter der Kurve von an $f(x)$ von $x = 0$ zu $x = a$dh $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Dann, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ wo : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ Der nicht standardisierte Ansatz wird auch verwendet, um bestimmte Formeln wie die der Arbeit abzuleiten, die wie folgt abgeleitet werden:
- Für eine infinitesimale Verschiebung $dx$, die infinitesimale Arbeit erledigt dh $dW$ ist $F_2(x)\cdot dx$
- Die Gesamtmenge der geleisteten Arbeit, dh $W$ist $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Hinweis: hier, $F_2(x)$ bezeichnet die Kraft, die das Teilchen an seiner Position erfährt $(x)$. Wenn wir zum Beispiel über elektrostatische Kraft sprechen,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Grundsätzlich wird der größte Teil des in der Physik verwendeten Kalküls mit Infinitesimalen und nicht standardmäßigen Analysen behandelt.
Die Standardanalyse erscheint mir jedoch viel strenger und sinnvoller. Ich habe ein paar Freunde gefragt, die ihre Lehrer gefragt haben, wie man Standardanalysen in der Physik anstelle von Nicht-Standardanalysen verwenden kann, aber keiner der Lehrer schien sich darum zu kümmern.
Ich würde gerne wissen, wie ich mich der Physik mittels Standardanalyse nähern kann.
PS: Ich bin derzeit in 10 th Klasse und haben nur die Grundlagen der 11 abgedeckt ten Grades vor. Eine Antwort, die ich mit wenig Wissen über fortgeschrittene Mathematik verstehen kann, wäre willkommen.
Edit: Ich bin sehr dankbar für die beiden Antworten, die ich bereits erhalten habe. Ich ging rücksichtslos davon aus, dass nicht standardisierte Analysen und die heuristische Verwendung von Infinitesimalen ein und dasselbe sind, was nicht der Fall ist, wie die Benutzer Qmechanic und PM 2Ring betonten . Ich möchte klarstellen, dass ich mich, wenn ich den Begriff „nicht standardisierte Analyse“ verwendete, tatsächlich auf die Behandlung von bezog$dy$, $dx$usw. als tatsächliche, sehr kleine Anzahl und von $\dfrac{dy}{dx}$ als Verhältnis ...
Antworten
Grundsätzlich wird der größte Teil des in der Physik verwendeten Kalküls mit Infinitesimalen und Nicht-Standard-Analysen behandelt.
Diese Prämisse ist falsch. Während physikalische Argumente über Infinitesimale typischen Argumenten in der "Nicht-Standard-Analyse" ähneln können, arbeitet die Elementarphysik normalerweise nicht auf strengen Ebenen, auf denen Sie eindeutig entscheiden können, ob sie eine Nicht-Standard-Analyse verwendet oder nicht. Die Physik interessiert sich nicht für grundlegende Fragen der Analyse, und z. B. ist die Ableitung einer Funktion eine Annäherung an ihre Steigung, unabhängig davon, welche Grundlage Sie verwenden (es kann mehr oder weniger Arbeit sein, dies abhängig von Ihrer Grundlage abzuleiten, aber es ist immer noch so immer wahr).
Wenn Sie Strenge suchen, gibt es oft eine ebenso gültige Interpretation von physikalischen „infinitesimals“ in Bezug auf die Standarddifferentialformen , zB$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ ist einfach die Definition einer 1-Form namens $\mathrm{d}W$, dessen Integral über Pfade $\gamma$ ist definiert als die Arbeit $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ Entlang des Weges.
Es gibt keinen Unterschied in der Genauigkeit zwischen NSA und Standardanalyse. (In Bezug auf die Modelltheorie sind sie gleichkonsistent.) Der größte Teil des Infinitesimalkalküls, den Sie in Physikpapieren und Büchern sehen, müsste jedoch überarbeitet oder leicht ausgearbeitet werden, um in die NSA zu gelangen.
Es ist normalerweise trivial, zwischen den beiden Sprachen hin und her zu übersetzen. Wissenschaftler und Ingenieure sollten beide fließend beherrschen.