Äquivalenz zwischen zwei Definitionen einer Kategorie mit exponentiellen Objekten

Question

Eine Kategorie mit Produkten soll Exponentiale für alle Objekte haben$x, y$ Es gibt ein Objekt $y^x$ mit einem Pfeil ausgestattet $e\colon x\times y^x\to y$ so dass für alle Objekte $z$ und alle Pfeile $f\colon x\times z\to y$ Es gibt einen eindeutigen Pfeil $\bar{f}\colon z\to y^x$ befriedigend $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Ich sehe, wenn eine Kategorie Exponentiale hat, dann $f\mapsto \bar{f}$ ist ein natürlicher Isomorphismus zwischen $hom(x\times z, y)$ und $hom(z, y^x)$ mit invers $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Daher der Funktor$x\times (-)$ bleibt neben $(-)^x$.

Ich wundere mich über das Gegenteil: wenn $C$ ist eine Kategorie mit Produkten wie $x\times (-)$ hat einen rechten Adjunkt, folgt daraus $C$ hat Exponentiale?

Insbesondere, wenn wir das nur annehmen $x\times (-)$ hat einen richtigen adjoint, wie rüsten wir aus $y^x$ mit dem Pfeil $e\colon x\times y^x\to y$. Wie können wir daraus die Gleichung ableiten?$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ hält genau?

Irgendwie die Existenz eines rechten Adjunkts von $x\times (-)$ fühlt sich schwächer und abstrakter an als die universelle Eigenschaftsdefinition einer Kategorie mit den oben angegebenen Exponentialen.

Answer 1

Ich nehme an, man braucht AC, um ein Objekt auszuwählen $y^x$ für jede $x$ und $y$.

Wenn man dies akzeptiert, bekommt man den Pfeil $e$aus dem Formalismus von Einheiten / Räten in Zusätzen. Wenn$F$ ist ein rechter Adjunkt von $x\times(-)$ dann natürlich $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Nehmen $a=Fy$. Dann$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Die Identität links ist einem Homomorphismus zugeordnet $e:x\times Fy\to y$auf der rechten Seite. Wir bezeichnen$Fy$ wie $y^x$, und das $e:x\times y^x\to y$ ist die Exponentialkarte.