arithmetische Fortschrittssequenz, $\gcd(a,b)=1$
Ich habe diese Frage zur arithmetischen Progression.
für eine natürliche Zahl $k>1$, die Sequenz : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$
seine Länge ist $K$
Ich muss auswählen $L$ > 0 Natürliche Zahl, die jede Zahl in der Sequenz relativ prim macht.
und $a[i]-a[i-1]=d$ statisch
(Kein gemeinsamer Teiler mit einer anderen Nummer in der Sequenz $\gcd(a,b)=1$)
Antworten
Lassen $a_i = iL + 1$ zum $i = 1,\ldots K$.
Für jeden $i \ne j$, Lassen $d = \gcd(a_i,a_j)$.
Schon seit $d$ teilt beide $a_i$ und $a_j$, $d$ teilt $ia_j - ja_i = i-j$.
Schon seit $1 \le i,j \le K$, wir haben $1 \le |i-j| \le K-1$. Dies impliziert$$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$
Wenn wir uns entscheiden $L$ ein Vielfaches von sein $(K-1)!$, dann $d|L$. Als Ergebnis,
$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$
Schon seit $i, j$ sind willkürlich, das heißt wann immer $L$ ist ein Vielfaches von $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, alle $a_i, a_j$ sind paarweise relative Primzahlen zueinander.
Hinweis
- $\color{blue}{[1]}$ - Wenn Sie eine kleinere wollen $L$können Sie ersetzen $(K-1)!$ durch ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ und das funktioniert auch.