Atiyahs Beweis des Modulraums von SD-irreduziblen YM-Verbindungen

Question

In der Arbeit "Selbst-Dualität in der vierdimensionalen Riemannschen Geometrie" (1978) präsentieren Atiyah, Hitchin und Singer einen Beweis dafür, dass der Raum der selbst-dualen irreduziblen Yang-Mills-Verbindungen eine Hausdorff-Mannigfaltigkeit ist und wenn er nicht leer ist gesetzt, dann ist die Dimension gegeben durch $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Wo $\chi(M)$ ist das Euler-Merkmal und $\tau(M)$ die Unterschrift.

BEARBEITEN: Es stellt sich heraus, dass das Originalpapier einen Fehler / Tippfehler enthielt. Es sollte in der Tat sein$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Ende der Bearbeitung.

Obwohl ich gerne in der Lage wäre, das gesamte Papier zu verstehen, bin ich noch nicht in der Lage, dies zu tun. Ich versuche nur, die Berechnung dieser Dimension zu verstehen, da ich an einigen Anwendungen der Atiyah interessiert bin. Singer-Index-Theorem.
Um diese Dimension zu berechnen, wird in der Arbeit Folgendes verwendet: Let$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ sei der Dirac-Operator für ein Spinorbündel mit Werten in einem Hilfsbündel $E$. Nach dem Indexsatz ist$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ In Dimension vier haben wir $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(aber wo wird das verwendet?). Für den Beweis nehmen wir$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Dann$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. So weit, ist es gut. Ich verliere den Überblick bei der folgenden Berechnung:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Wo $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Ich habe versucht, ein Ergebnis zu finden, das den rot gefärbten Teil der Gleichung erklärt, weil dieser Schritt völlig trivial erscheint und trotzdem in der Arbeit überhaupt nicht näher ausgeführt wird, und ich bin dazu nicht in der Lage Finden Sie alle Quellen, die diesen Schritt erklären. Im Index des Dirac-Operators und im Chern-Charakter des symmetrischen Produktverdrillungsbündels scheint die akzeptierte Antwort eine Antwort zu geben, die in gewissem Fall erklärt, wie dieses Ergebnis erzielt wird. Ich bin jedoch auf diesem Gebiet nicht sehr erfahren und weiß nicht, wie ich das Ergebnis auf ein beliebiges Prinzip verallgemeinern soll$G$-bündeln. Ich suche nach einer Erklärung für das Obige, ob jemand in der Lage ist, seine eigene Antwort oder eine Referenz zu liefern. Beides wäre sehr dankbar.

Answer 1

Hoffentlich erinnere ich mich gut daran. Mein Berater hat mir diese Berechnung erklärt. Ich möchte nicht einmal darüber nachdenken, wie viele Jahre es her ist.

Der Verformungskomplex der SD-Gleichung ist $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

Die Dimension des Modulraums von Self-Dual-Verbindungen ist der Index dieses Operators. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Dieser Operator wird durch Verdrehen mit erhalten $\Ad(P)$ der Betreiber

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

Dies ist der Operator $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ in der Zeitung, die Sie erwähnt haben.

Die Atiyah-Singer-Indextheorie zeigt dies $\ind L$ ist

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

wo $[--]_4$ bezeichnet den Grad $4$ Teil einer inhomogenen Differentialform.

Wir schließen daraus

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

wo der Abschluss $4$ von $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ ist die Indexdichte von $D$ erscheint im Atiyah-Singer-Indexsatz $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$

So

$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$

Jetzt ausdrücken $(b_1-b_2^--b_0)$ in Bezug auf die Unterschrift $\tau=b_2^+-b_2^-$ und die Euler-Eigenschaft $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.