Aufgabe 1.2.14 (b) in Symbolische Dynamik und Codierung

Nov 22 2020

Angesichts des Alphabets $\mathcal{A}$ von Größe 3, lassen $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$. Hier$x_i$ ist eine Abkürzung für $x(i)$. Zeige, dass$X=\emptyset$ Ich habe versucht, pythagoreische Tripel zu verwenden $a^2+b^2=c^2$ und kam zu dem Schluss $x_{a^2}=x_{b^2}$ wenn so ein $x$existierte. Jetzt muss ich nur noch beweisen$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ und ich werde einen Beweis durch Widerspruch haben.

Antworten

3 CalvinLin Nov 22 2020 at 11:21

(Füllen Sie die Lücken nach Bedarf aus. Wenn Sie nicht weiterkommen, schreiben Sie Ihren Arbeits- und Denkprozess auf, um zu demonstrieren, wo Sie sich befinden.)

Angenommen, eine solche Sequenz existiert. Lassen$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$.

  1. WLOG lassen $ x_1 = R$.
  2. Wir werden uns auf die Nummer des Formulars konzentrieren $ x_{1 + n^2}$und beschriften sie $y_n$. Deutlich$y_n = B$ oder $G$.
  3. Behauptung: Wenn $ a^2 + b^2 = c^2$, dann $ y_a, y_b$ haben die gleiche Farbe, die sich von unterscheidet $y_c$.
  4. WLOG lassen $ y_3 = y_4 = B$ damit $y_5 = G$.
  5. Damit $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$.
  6. Damit $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$.
  7. Fügen Sie unter Verwendung der pythagoreischen Tripel (und ihrer Vielfachen) weiterhin bekannte Begriffe hinzu, bis Sie einen Widerspruch erhalten. (Ich bekomme einen Widerspruch mit$y_{16}$, wie es irgendwann sein muss $B$. Natürlich könnten Sie einen anderen Widerspruch erreichen.)

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $