Befinden sich dg-Module über einem Cofibrant der Cg-Kategorie?
Befestigen Sie einen kommutativen Ring $k;$ Alle DG-Kategorien sind DG-Kategorien über $k.$Während der gesamten Frage werde ich der Notation und den Konventionen von Toëns " Die Homotopietheorie der dg-Kategorien und der abgeleiteten Morita-Theorie " folgen . Für eine dg-Kategorie$C,$ Lassen $[C]$ sei die Kategorie, deren Objekte mit den Objekten von identisch sind $C,$ und deren Morphismen definiert sind durch $\operatorname{Hom}_{[C]}(X,Y) := H_0(C(X,Y)).$
Lassen $F : C\to D$ Sei ein DG-Funktor zwischen DG-Kategorien und erinnere dich daran:
- $F$ist quasi voll treu, wenn für alle$X,Y\in C,$ $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ ist ein Quasi-Isomorphismus,
- $F$ist quasi im Wesentlichen surjektiv, wenn$[F] : [C]\to [D]$ ist im Wesentlichen surjektiv,
- $F$ist eine Quasi-Äquivalenz, wenn sie quasi vollständig treu und quasi im Wesentlichen surjektiv ist.
- $F$ist eine Fibration, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:
- Für alle $X,Y\in C,$ der Morphismus $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ ist eine Fibration in der Kategorie $\mathsf{Ch}(k)$ von Kettenkomplexen über $k$ (dh eine Vermutung) und
- Für alle $X\in C,$ gegeben jeder Isomorphismus $v : [F](X)\to Y'\in [D],$ es gibt $Y\in C$ und ein Isomorphismus $u : X\to Y$ im $[C]$ so dass $[F](u) = v.$
Denken Sie daran, dass die Kategorie eine Modellstruktur enthält $\mathsf{dgCat}_k$ von dg-Kategorien über $k$ und dg-Funktoren zwischen ihnen, mit Fibrationen wie oben definiert und mit schwachen Äquivalenzen, die durch die Quasi-Äquivalenzen gegeben sind.
Für eine dg-Kategorie $C,$ definiere auch die dg-kategorie $\widehat{C}$ die vollständige Unter-dg-Kategorie von sein $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ Bestehend aus den Fibrant- und Cofibrant-Objekten, in denen wir die Fibrationen und Äquivalenzen definieren $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ die Funktoren zu sein, die pegelweise Fibrationen und Äquivalenzen in $\mathsf{Ch}(k).$
Meine Frage ist: Nehmen wir das an $C$ist eine Cofibrant-dg-Kategorie. Dann sind entweder von$\widehat{C}$ oder $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ cofibrant dg-Kategorien?
Erstens ist es leicht, das zu zeigen $C$ ist genau dann cofibrant, wenn $C^{\textrm{op}}$ist. Mit dieser Beobachtung habe ich nur daran gedacht, eine Karte zu bekommen$F : \mathsf{dgMod}_{C}\to A$ (oder $\widehat{C}$) einen Funktor anheben $\mathsf{dgMod}_C\to B$ entlang einer trivialen Fibration $A\to B$ ist die Yoneda-Einbettung zu verwenden $$ \begin{align*} h^{-}:C^{\textrm{op}}&\to \widehat{C}\\ X&\mapsto\left(\begin{array}{lll} h^X:&C&\to\mathsf{Ch}(k) \\ &Y&\mapsto C(X,Y) \end{array}\right) \end{align*} $$ und schreibe ein beliebiges dg-Modul $M$ als Colimit von darstellbaren Funktoren $M\cong\varinjlim_i h^{X_i}$ definieren $$F(M) := \varinjlim_i G(X_i),$$ wo $G : C^{\textrm{op}}\to A$ ist ein Aufzug des Verbundwerkstoffs $$C^{\textrm{op}}\to \mathsf{dgMod}_C\to B$$ entlang $A\to B.$
Es gibt jedoch einige Probleme mit der Strategie: Erstens: $A$Vielleicht haben Sie keine Colimits! Selbst wenn$A$ hatte entsprechende colimits, dies würde nur definieren $F$ auf der Ebene der Objekte, und es scheint, dass $A\to B$müsste mit colimits pendeln, damit dies vernünftig ist. Gibt es eine Möglichkeit, diese Strategie zu retten, und wenn nicht, gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu erreichen?
Bearbeiten: Um mein Hauptziel hinzuzufügen , frage ich dies als Folge meiner vorherigen Frage , ob die abgeleitete Unendlichkeitskategorie mit dem Herausnehmen von Pushouts pendelt. Ich habe dort eine nette Antwort erhalten, die sich mit der Situation in der EU befasst$\infty$-kategoriale Situation, aber ich hatte gehofft, einen Beweis dafür im Fall von dg-Kategorien zu finden, die nicht durch die gingen $\infty$-Kategoriale Sprache. Die von mir erstellte Beweisskizze erforderte, dass die Kategorie der dg-Module über einer Cofibrant-Dg-Kategorie / Algebra Cofibrant ist, um die abgeleiteten Tensorprodukte zu berechnen, die entstehen.
Antworten
Meine Frage ist: Angenommen, C ist eine Cofibrant-dg-Kategorie. Sind dann entweder Ĉ oder dgMod_C ^ op cofibrant dg-Kategorien?
Ein Cofibrant-Objekt in einer Cofibrant-generierten Modellkategorie (wie z. B. dgCat) ist ein Rückzug einer transfiniten Zusammensetzung von Cobase-Änderungen zur Erzeugung von Cofibrationen. Das Erzeugen von Cofibrationen von dgCat sind Funktoren zwischen kleinen Kategorien (siehe zum Beispiel (4.7) und (4.13) in arXiv: 1201.1575 ), und Cobase-Änderung, transfinite Zusammensetzung und Retraktionen bewahren diese Eigenschaft. Da dgMod_C ^ op und Ĉ beide eine richtige Klasse von Objekten haben (und sogar eine richtige Klasse von schwachen Äquivalenzklassen von Objekten), gibt es keine Möglichkeit, dgMod_C ^ op oder Ĉ in kofibrante dg-Kategorien zu unterteilen.