Berechnen Sie den erwarteten Wert im Würfelspiel.

Question

Wir spielen ein Spiel in 2 Stufen:

In Stufe eins werfen wir einen Würfel, bis wir die Nummer 6 erhalten. N soll die Anzahl der gespielten Spiele darstellen, bis wir zum ersten Mal die Nummer 6 erhalten haben.

In Stufe zwei werfen wir N Würfel (jeder nur einmal).

Frage: Lassen Sie$X$ stellen Sie die Summe der Ergebnisse dar, die wir in Stufe 2 erhalten haben, berechnen Sie $E(X|N=n)$::

Was ich weiß? ich weiß, dass$N$ ist $\operatorname{Geo}(1/6)$ und das $E(N)=1/(1/6)=6$ Um fortzufahren, muss ich die Verteilung von kennen $X|N=n$Kann ich Hilfe bekommen?

Answer 1

Wenn wir werfen $n$ Würfel, dann ist der erwartete Wert ihrer Summe $3.5n$. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass die durchschnittliche Punktzahl auf einem Würfel ist$3.5$ (und die Erwartung ist linear).

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Lassen $A_i$ gleich dem Ergebnis der $i$Würfelwurf. $E(A_i)$ kann folgendermaßen berechnet werden:$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \, .$$ Lassen $B$ gleich der Summe von $n$Rollen. \ begin {align} E (B) & = E (A_1) + E (A_2) + \ ldots + E (A_n) \\ & = \ underbrace {3.5 + 3.5 + \ ldots + 3.5} _ {\ text {$n$mal}} \\ & = 3.5n \ ,. \ end {align}