Berechnen von Umlaufbahnen von Konjugationsklassen in GAP.
Ich habe eine Erweiterungsgruppe $G=N{.}Q$ , $N$nonabelian. Wie berechne ich die Umlaufbahnen von$Q$ auf den Konjugationsklassen von $N$in GAP? Nehmen Sie zum Beispiel G =$S_5=A_5{:}2$. Die Lücke Eingabe "Orbits$(2,A_5)$ wird 33 Umlaufbahnen von geben $C_2$ auf die Elemente von $A_5$. Wie berechne ich die Umlaufbahnen von$C_2$ auf den Klassen von $A_5$ in GAP?
Antworten
Angenommen, Sie haben die Gruppe $G$ konkret mit einer normalen Untergruppe gegeben $N$Sie können dies tun, indem Sie Ihre eigene Funktion für die Aktion definieren (solche Funktionen nehmen immer ein Element an $\omega$ der Domäne und eines Gruppenelements $g$ und zurück $\omega^g$::
OnConjugacyClasses:=function(class,g)
return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;
Damit können Sie dann wie gewohnt Umlaufbahnen berechnen. In Ihrem Beispiel:
gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
]
Wenn Sie dies für größere Gruppen versuchen, ist es möglicherweise schneller, auch Informationen über den Zentralisierer des Vertreters zu übertragen, falls bekannt:
OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
fi;
return cl;
end;