Berechnen von Umlaufbahnen von Konjugationsklassen in GAP.

Aug 16 2020

Ich habe eine Erweiterungsgruppe $G=N{.}Q$ , $N$nonabelian. Wie berechne ich die Umlaufbahnen von$Q$ auf den Konjugationsklassen von $N$in GAP? Nehmen Sie zum Beispiel G =$S_5=A_5{:}2$. Die Lücke Eingabe "Orbits$(2,A_5)$ wird 33 Umlaufbahnen von geben $C_2$ auf die Elemente von $A_5$. Wie berechne ich die Umlaufbahnen von$C_2$ auf den Klassen von $A_5$ in GAP?

Antworten

2 ahulpke Aug 16 2020 at 15:58

Angenommen, Sie haben die Gruppe $G$ konkret mit einer normalen Untergruppe gegeben $N$Sie können dies tun, indem Sie Ihre eigene Funktion für die Aktion definieren (solche Funktionen nehmen immer ein Element an $\omega$ der Domäne und eines Gruppenelements $g$ und zurück $\omega^g$::

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
  return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;

Damit können Sie dann wie gewohnt Umlaufbahnen berechnen. In Ihrem Beispiel:

gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
 ]

Wenn Sie dies für größere Gruppen versuchen, ist es möglicherweise schneller, auch Informationen über den Zentralisierer des Vertreters zu übertragen, falls bekannt:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
  cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
  if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
    SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
  fi;
  return cl;
end;