Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, die Bedingungen erfüllen -$|z|=2$ $\space$und$\space$Ich bin$(z^6)=8$Ich bin$(z^3)$

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen$z$die folgende Bedingungen erfüllen:

$|z|=2$ $\space$und$\space$Ich bin$(z^6)=8$Ich bin$(z^3)$

Ich habe erstmal gerechnet$z^3$und$z^6$.

$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$

$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$

$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$

Dann setze ich Imaginärteile in Gleichung Im ein$(z^6)=8$Ich bin$(z^3)$und habe folgendes bekommen

$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$

$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$(*)

$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$(1)

aus$|z|=2$folgt$\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$(2)

nachdem ich (2) in (1) eingesetzt hatte, bekam ich

$x^3-3x=1$

und dann$x=2\cos\varphi$

Gleichung$8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$umgewandelt werden kann

$2\cos3\varphi=1$(Ich habe das mit Hilfe der Identität von bekommen$\cos {3x}$)

und dann

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$

$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$,$\space$ $k \in \mathbb{Z}$

Lösung anders geschrieben ist

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$

In Übereinstimmung mit (*) Ausdrücken$3x^2-y^2$sind ausgestrichen. Das müssen wir mit einbeziehen

$3x^2-y^2=0$

$3x^2-(4-x^2)=0$

$4x^2=4$

$x^2=1$

$(2\cos\varphi)^2=1$

$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$

Nach dem Lösen dieser Gleichung erhalten wir

$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

Lösung aus meinem Lehrbuch:

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.

Kann mir jemand helfen einen Fehler zu finden?

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Answer 1

Es ist kürzer mit der Exponentialform von zu lösen$z$: da sein Modul ist$2$, wir können schreiben$\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. und die Gleichung auf den Imaginärteilen wird$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$daher diese einfache trigonometrische Standardgleichung$\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Seine Lösungen sind$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$Eine Kurzform der Lösungen in$\theta$wäre$$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$

Answer 2

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir die Gleichungen auf reduzieren$$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$

Daraus können wir sagen, wann$z=\omega_i$(wo$\omega_i$sind die Kubikwurzeln der Einheit), werden die Gleichungen definitiv wahr sein.

Verwenden Sie danach die Polynomentwicklungen für$z^6 $und$z^3$in Anbetracht$z=x+i y$was effektiv löst$$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$unter der Bedingung, dass$$x^2+y^2=1$$was ein Einheitskreis ist.

Hier gelangen Sie zur folgenden Grafik

Die Schnittpunkte des schwarzen Diagramms mit dem roten Kreis und die blauen Punkte mit beschrifteten Koordinaten sind die erforderlichen Lösungen.