Bestimmen Sie alle Mengen nicht negativer Ganzzahlen x, y und z, die die Gleichung erfüllen $2^x + 3^y = z^2$ [Duplikat]
Bestimmen Sie alle Mengen nicht negativer Ganzzahlen x, y und z, die die Gleichung erfüllen $2^x + 3^y = z^2$
Dies kam in der INMO von 1992 und scheint seltsamerweise auch in der BMO-Runde 2 von 1996 enthalten zu sein? Ich habe noch nie von einer Frage gehört, die direkt von einer anderen Olympiade kopiert wurde, daher war dies eine Premiere für mich.
Wie auch immer, zuerst habe ich mir den Fall angesehen $y=0$. Dies gab mir schnell eine Lösung, nämlich$(x,y,z)=(3,0,3)$
Als nächstes überlegte ich $x,y,z>0$
Wir wissen $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ und diese perfekten Quadrate sind $\equiv 0,1 \bmod 3$. Es ist leicht zu erkennen, dass die einzige Kombination, die funktioniert, ist$x$ sei gerade und $z=3m+1$ Art $\Rightarrow z$ ist ungerade
Wir wissen auch, dass seltsame perfekte Quadrate sind $\equiv 1 \bmod 4$. Des Weiteren,$3^y\equiv (-1)^y \bmod 4$ und seit $x$ ist sogar es impliziert das $x≥2$ so $2^x$ ist teilbar durch $4$. Dies impliziert weiter, dass$(-1)^y \equiv 1 \bmod 4 \Rightarrow y$ ist auch gerade.
Lassen $x=2k$. Dann wird unser ursprünglicher Ausdruck$$3^y=(z+2^k)(z-2^k)$$ Wir haben zwei Möglichkeiten: Erstens $(z-2^k)=1$ und $(z+2^k)=3^y$ und zweitens ist $(z-2^k)=3^{y-a}$ und $(z+2^k)=3^a$. Aber da haben wir das vorher festgestellt$z=3k±1$ und wie $2^k \equiv (-1)^y \bmod 3$können wir die zweite Möglichkeit schnell verwerfen.
Also haben wir endlich, $$(z-2^k)=1$$ $$(z+2^k)=3^y$$
Hier steckte ich kläglich fest. Eine andere Sache, die ich bekam, war das$k$ ist auch gerade (was bedeutet $x$ ist selbst ein Vielfaches von $4$). Eine weitere Sache ist das seitdem$y$ ist gerade $3^y$ ist teilbar durch $9$. Ich weiß nicht, wie wir diese Tatsache im Moment nutzen können, aber ich dachte, es könnte erwähnenswert sein.
Jede Hilfe, um fortzufahren, wäre dankbar, danke.
Antworten
Erstens gibt es ein paar kleinere Probleme mit Ihrem Beweis:
Als nächstes überlegte ich $x,y,z>0$
Haben Sie alle Lösungen mit gefunden? $xyz=0$? (Nein!)
Wir wissen $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ und diese perfekten Quadrate sind $\equiv 0,1 \bmod 3$. Es ist leicht zu erkennen, dass die einzige Kombination, die funktioniert, ist$x$ sei gerade und $z=3m+1$ Art $\Rightarrow z$ ist ungerade.
Es stimmt, dass $x$ muss gerade sein, aber nicht das $z\equiv1\pmod{3}$. Es ist auch möglich, dass$z\equiv2\pmod{3}$. Zum Glück geben Sie das später an$z=3k\pm1$Vielleicht ist das nur ein Tippfehler. Aber die Schlussfolgerung, dass$z$ist sogar fehl am Platz; stattdessen folgt dies aus der einfachen Tatsache, dass$x>0$, wie früher $$z^2\equiv 2^x+3^y\equiv1\pmod{2}.$$
Der Rest des Beweises ist in Ordnung. Die verknüpften Duplikate bieten alternative (und schnellere) Lösungen für Ihr ursprüngliches Problem. Hier ist jedoch ein schneller und einfacher Abschluss Ihres Ansatzes:
Das merkt man schon $y$ ist gerade so $$2^{k+1}=(z+2^k)-(z-2^k)=3^y-1=(3^{y/2}+1)(3^{y/2}-1).$$ Dann sind beide Faktoren auf der rechten Seite Potenzen von $2$und sie unterscheiden sich durch $2$, damit $y=2$.
Wie in den Kommentaren erwähnt, ist dies ein Sonderfall des Satzes von Mihăilescu , der zuvor als katalanische Vermutung bekannt war. Zu der Zeit, als diese Fragen in den IMO-Wettbewerben gestellt wurden, war dies noch eine Vermutung. Man kann also mit Sicherheit sagen, dass von Ihnen nicht erwartet wurde, dass Sie den Satz von Mihăilescu kennen oder anwenden. Teilnehmer mit Interesse an der Zahlentheorie kennen möglicherweise die Vermutung (sie ist ziemlich berühmt), sodass sie zumindest „wissen“ würden, dass dies die einzige Lösung sein sollte.