Beweis durch Induktion - ist das richtig?

Nov 26 2020

Beweis durch Induktion, dass: Für alle $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ ist ein Vielfaches von $3$.

Ich denke, ich bin ziemlich weit gekommen, aber ich weiß nicht, ob es richtig ist / wie ich weitermachen soll. Mein Arbeiten:

Basisfall: Zeigen Sie das $n=1$ gilt: $7^2 + 2^3 = 57$ und $3|57$ damit $n=1$ hält.

Annehmen, dass $n=k$ gilt: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.

Beweise das $n=k+1$ gilt: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$

Ich habe das so umgestellt, dass es in der gleichen Form ist wie $n=k$ und bekam $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.

Ich habe das dann vereinfacht und neu angeordnet $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.

Ein Vielfaches von herausnehmen $4$ gibt $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ und seit $(7^{2k} +2^{2k+1})$ ist ein Vielfaches von $3$Ich lasse es gleich $3m$ so ist es $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.

Schließlich nahm ich ein Vielfaches von heraus $3$ bekommen $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ Das ist ein Vielfaches von $3$daher gilt die Aussage durch Induktion.

Ist mein Beweis völlig korrekt? Gab es einen einfacheren Weg, wie ich das hätte tun können?

Antworten

2 NeatMath Nov 26 2020 at 19:23

Ihr Beweis ist richtig, aber zu ausführlich. Warum nicht einfach aufschreiben $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ und du bist fertig.

DerekLuna Nov 26 2020 at 19:30

Da Sie nach einem einfacheren Weg gefragt haben (und davon ausgehen, dass Sie Induktion verwenden müssen), sollten Sie modulare Arithmetik in Betracht ziehen:

Für den Basisfall für $n=1$ wir haben $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$

Dann $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ durch Hypothese.

Dies ist jedoch etwas kompliziert, da in diesem Fall dasselbe möglich ist, ohne dass der Basisfall separat überprüft werden muss.