Beweis durch Induktion - ist das richtig?
Beweis durch Induktion, dass: Für alle $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ ist ein Vielfaches von $3$.
Ich denke, ich bin ziemlich weit gekommen, aber ich weiß nicht, ob es richtig ist / wie ich weitermachen soll. Mein Arbeiten:
Basisfall: Zeigen Sie das $n=1$ gilt: $7^2 + 2^3 = 57$ und $3|57$ damit $n=1$ hält.
Annehmen, dass $n=k$ gilt: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.
Beweise das $n=k+1$ gilt: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$
Ich habe das so umgestellt, dass es in der gleichen Form ist wie $n=k$ und bekam $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.
Ich habe das dann vereinfacht und neu angeordnet $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.
Ein Vielfaches von herausnehmen $4$ gibt $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ und seit $(7^{2k} +2^{2k+1})$ ist ein Vielfaches von $3$Ich lasse es gleich $3m$ so ist es $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.
Schließlich nahm ich ein Vielfaches von heraus $3$ bekommen $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ Das ist ein Vielfaches von $3$daher gilt die Aussage durch Induktion.
Ist mein Beweis völlig korrekt? Gab es einen einfacheren Weg, wie ich das hätte tun können?
Antworten
Ihr Beweis ist richtig, aber zu ausführlich. Warum nicht einfach aufschreiben $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ und du bist fertig.
Da Sie nach einem einfacheren Weg gefragt haben (und davon ausgehen, dass Sie Induktion verwenden müssen), sollten Sie modulare Arithmetik in Betracht ziehen:
Für den Basisfall für $n=1$ wir haben $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$
Dann $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ durch Hypothese.
Dies ist jedoch etwas kompliziert, da in diesem Fall dasselbe möglich ist, ohne dass der Basisfall separat überprüft werden muss.