Beweisen, ob $b^k = a$ und $\text{ord}(a) = n$ dann $\text{ord}(b) = kn$.

Question

Lassen $(G,e)$ eine Gruppe sein und $a \in G$ endliche Ordnung haben

$\quad \text{ord}(a) = n$

und lass $\langle a \rangle$ bezeichnen die zyklische Gruppe, die durch erzeugt wird $a$.

Angenommen, für $b \in G$ und $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ und $b^k = a$

Dann die Reihenfolge von $b$ ist $kn$.

Beweis

Die Reihenfolge von $b$ muss ein Vielfaches von sein $n$ schon seit $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$.

Die Reihenfolge von $b$ muss teilen $kn$ schon seit $b^{kn} = e$.

Alles was bleibt ist zu identifizieren $kn$ verschiedene Elemente in $\langle b \rangle$.

Betrachten Sie die Zuordnung

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

Unsere Arbeit wird abgeschlossen sein, wenn wir zeigen können, dass dieses Mapping injektiv ist. Dies wird erreicht, indem die Tatsache genutzt wird, dass die$b^v$ kann niemals eine nicht triviale Umkehrung für irgendwelche Elemente in sein $\langle a \rangle$.

Annehmen $a^u b^v = a^s b^t$ und $u = s$. Dann$v$ muss gleich sein $t$.

Nehmen Sie also ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass $u \gt s$. Dann können wir schreiben

$\quad a^w b^v = b^t$

mit $0 \lt w \lt n$.

Wenn $v = t$ wir haben seitdem einen Widerspruch $a$ hat Ordnung $n$.
Wenn$v \gt t$Wir haben einen Widerspruch, da wir keine nicht triviale Umkehrung konstruieren können.
Wenn$v \lt t$ wir haben seitdem einen Widerspruch $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Ist das ein gültiger Beweis?

Es scheint mir in Ordnung zu sein, aber der Grund für das Posten dieser Frage ist, dass ich dies im Internet der mathematischen Fakten nicht finden konnte . Ich konnte dies (Tatsache?) Nicht als doppelte Frage auf dieser Site oder anderswo finden.

Daher wären alle Links zu der Literatur, die dies verwendet, von Interesse.

Answer 1

Ihr Beweis ist richtig. Ein weitaus kürzerer Beweis folgt.

Zum $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ schon seit $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ Entweder $x\bmod k>0$ und $b^x\not\in\langle a\rangle$ weil der erste Faktor in ist $\langle a\rangle$ und der zweite ist nicht, oder $x\bmod k=0$ aber $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ und $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$.

Das lässt sich jedoch leicht zeigen $b^{kn}=e$. Daher die Reihenfolge von$b$ ist $kn$.