Beweisen Sie das für alle $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$

Question

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$

Um ehrlich zu sein, kann ich nicht wirklich anfangen,

Ich möchte alle bitten, mir eine Idee zu geben, wie ich es lösen kann, mir einen ersten Anstoß zu geben, danke.

Answer 1

wir schreiben die Summe so um;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$

Dies ist nur der Koeffizient von $x^{n-1}$ in Expansion $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$

Erkenne dies als GP: daher suchen wir den Koeffizienten von $x^{n-1}$ im $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$

oder $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ Der Koeffizient ist $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Übrigens sieht das summierte Produkt aus wie die PMF der negativen Binomialverteilung , die eine faire Münze wiederholt wirft, bis sie hat$n$ Köpfe gibt es $\frac 12$ Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens gab $n-1$ Schwänze vor dem $n$th Kopf.

Lassen $\Pr(A)$ sei die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens gab $n-1$ Schwänze vor dem $n$th Kopf.

Dann $1-\Pr(A)$ wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die $n$Der Schwanz erscheint, während es höchstens waren $n-1$ Köpfe.

Für eine faire Münze sind Kopf und Schwanz symmetrisch und so weiter

$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$