Beweisen Sie, dass die Grenze der Sequenzen gleich ist, wenn die Differenz der Terme zweier konvergenter Sequenzen Null ist

Aug 16 2020

Vorschlag: Angesichts der realen Sequenzen $\{a_n\}$ und $\{b_n\}$ sind konvergent, und das $\{a_n - b_n \}$ ist also eine Nullsequenz $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

Dies war mein Versuch:

Bezeichnen $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ und $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Annehmen$m \neq n$. Annehmen$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Durch die Konvergenz von$\{a_n\}$ und $\{b_n\}$und unter Verwendung des angegebenen Wertes von epsilon für ausreichend groß $n$ wir haben das $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, und $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Daraus haben wir

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Aber durch die Dichte von $\mathbb{R}$gibt es einige $r \in \mathbb{R}$ so dass $a_n - b_n > r$ für ausreichend groß $n$. Dies widerspricht jedoch der Tatsache, dass$\{a_n - b_n\}$ ist daher eine Nullsequenz $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Ich bin daran interessiert zu sehen, ob es einen Beweis gibt (und hoffentlich auch eine Bestätigung, dass meiner korrekt ist!), Der nicht darauf beruht, einen Widerspruch aus der Annahme abzuleiten $l \neq m$. Dies scheint frustrierend wie eine dieser "offensichtlichen" Aussagen zu sein, die ich nur schwer beweisen kann, wenn ich in Logik erster Ordnung schreibe. Insbesondere konnte ich keinen Weg finden, dies direkt zu tun.

Antworten

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

Beweis durch Widerspruch ist hier wirklich der natürlichste Ansatz. Die Intuition ist einfach: Wenn die Sequenzen unterschiedliche Grenzen haben, müssen sie schließlich nahe an diesen Grenzen liegen und können daher nicht nahe beieinander liegen.

Es kann jedoch etwas einfacher gemacht werden. Lassen$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Es gibt eine$n_0\in\Bbb N$ so dass $|a_n-\ell|<\epsilon$ und $|b_n-m|<\epsilon$ wann immer $n\ge n_0$. Aber dann

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

für alle $n\ge n_0$, so

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

für alle $n\ge n_0$im Widerspruch zu der Annahme, dass $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ ist eine Nullsequenz.

Ihr Argument hat einige Probleme. Erstens scheinen Sie das anzunehmen$\ell>m$;; Es gibt keinen wirklichen Verlust an Allgemeinheit, wenn Sie diese Annahme machen, aber Sie müssen zumindest sagen, dass Sie es machen. Sie gehen anscheinend auch am Ende davon aus$a_n-b_n$ist positiv, was nicht der Fall sein muss. Schließlich und vor allem haben Sie die Behauptung, dass es eine echte gibt, nicht wirklich begründet$r$ so dass $a_n-b_n>r$ für ausreichend groß $n$: das gilt eigentlich für $|a_n-b_n|$ und einige positive $r$, aber das hat nichts mit der Dichte von zu tun $\Bbb R$.