Beweisen Sie, dass eine Folge $\{a_n\}_n$definiert von $a_1=-\frac14$und $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$konvergiert und finde seinen Grenzwert.
Ich möchte meinen Versuch und Abzug überprüfen. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Beweisen Sie, dass eine Folge$\{a_n\}_n$definiert von$a_1=-\frac14$und$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$konvergiert und finde seinen Grenzwert.
Das habe ich bisher:
$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$
Ich habe ein paar Terme berechnet:
$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$
ich nahm an$a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.
Dann ab$(1)$und$a_{n+1}<0$, es folgt
$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$
Dann, induktiv, wenn$\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$für einige$m\in\Bbb N,$wir haben$\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$
Also die Reihenfolge$\{a_n\}_n$ist monoton und beschränkt und daher konvergent.
Wir können auch eine stärkere Aussage beweisen:
$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.
$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$
Einstecken der Grenze in$(1)$, wir bekommen$$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$
Somit,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.
Gibt es einen Fehler in meinen Annahmen und Schlussfolgerungen und sollte ich Schritte in einer anderen Reihenfolge ausführen?
Ich weiß, ich konnte es nicht beweisen$a_n<0\quad\forall n$durch Induktion seit der Funktion$f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$definiert von$$f(x)=-\frac4{x+4}$$ist nicht auf der gesamten Domäne monoton, nur auf$(-\infty,-4)$und$(-4,+\infty)$separat.
Auch als ich überlegte zu schreiben$a_n=\frac{x_n}{y_n}$und dann$$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$und davon ausgehen$x_{n+1}=-4y_n$und$y_{n+1}=x_n+4y_n$, erhielt ich die homogene Rekursion$$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$mit einem charakteristischen Polynom$$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$mit einer mehrfachen Wurzel, also dachte ich, ich würde es zu kompliziert machen.
Danke sehr!
Antworten
$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$
Lassen$A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$Lassen$B_n=t^n$, dann$$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$Dann$B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$,$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$Endlich haben wir die Lösung dafür$(1)$als$$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$