Beweisen Sie, dass wenn $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , und $~\sum c_n=C$ [Duplikat]

Dec 07 2020

Lassen $\{a_n\}$, $\{b_n\}$Sequenzen sein. Definieren$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Beweisen Sie, dass wenn $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , und $~\sum c_n=C~$ (also sind sie alle konvergente Reihen) dann $C=AB$. (Beachten Sie, dass wir nicht brauchen$\sum a_n$ absolut konvergent sein).

Hallo, alle miteinander. Ich bin nicht sicher, wie ich dieses Problem starten soll. Ich möchte keine Antwort, nur einen Hinweis, wie ich anfangen soll.

Antworten

Kolmogorov Dec 07 2020 at 16:14

Es tut mir leid, dass ich die Frage zuvor falsch verstanden habe. Was Sie suchen, ist wahrscheinlich das , was sagt:

Lassen $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ sind bedingt konvergente komplexe Reihen, $\sum c_{n}$ ist das Cauchy-Produkt von $\sum a_n$, $\sum b_n$ so dass $\sum c_n$konvergiert. Dann,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Einen vollständigen Beweis finden Sie unter demselben Link wie oben.


BEARBEITEN: Die Links wurden aktualisiert. Entschuldigung für die Unannehmlichkeiten.