Beweisen Sie diesen doppelten Raum von $\ell^1$ ist $\ell^{\infty}$

Question

Beweisen Sie diesen doppelten Raum von $\ell^1$ ist $\ell^{\infty}$

Mein Versuch : Ich habe die Antwort hier bekommen, aber ich kann die Antwort nicht verstehen

wir wissen, dass die Norm von $ x\in \ell^1$ ist gegeben durch $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$

Norm von $ x\in \ell^{\infty}$ ist gegeben durch $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$

Jetzt hier beginnt mein Beweis :

Schon seit $\ell^1$ ist unendlich dimensional, weil es die unendliche Folge in der Form enthält $(0,0,\dots,1,0,\dots)$

Es gibt also eine Basis $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ von $\ell^1$ wo $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$

Dies impliziert, dass jeder $x \in \ell^1$ kann geschrieben werden als $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$

Nehmen Sie nun eine begrenzte lineare Funktion $f$ von $\ell^1$

$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ definiert von $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$

Danach kann ich nicht mehr weitermachen.

Answer 1

Klar, jedes Element von $v\in\ell^\infty$ definiert ein Element des Dualen von $\ell^1$, seit wenn $v=(v_j)$ und $x=(x_j)\in\ell^1$, dann $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ Lassen $\varphi\in(\ell^1)^*$ und setzen $v_j=\varphi(e_j)$ und $v=(v_j)$. Deutlich$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ und daher $v\in\ell^\infty$ und $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. Es bleibt zu zeigen, dass$\varphi(x)=v(x)$, für alle $x\in\ell^1$ und $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.

Deutlich, $\varphi(x)=v(x)$, zum $x=e_j$ und für alle $x$'s, die endliche lineare Kombinationen der $e_j$'s. Sie sind auch beide begrenzte lineare Funktionale und stimmen einer dichten Teilmenge von zu$\ell^1$und daher die überall zustimmen, dh $v\equiv \varphi$.

Für den letzten Teil bleibt es zu zeigen, dass $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. Nun zu jedem$\epsilon>0$existiert ein Einheitsvektor $w=(w_j)\in\ell^1$, so dass $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ und auch dort existiert $n\in\mathbb N$, so dass $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, wo $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ und klar $v(w(n))=\varphi(w(n))$. So$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ und das gilt für alle $\epsilon>0$, was das impliziert $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.