Beweisen $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ wenn $f$ ist nicht entartet
Lassen $f(\alpha, \beta)$ sei eine bilineare Form auf der $n$-dimensionaler linearer Raum $V$ über das Zahlenfeld $F$. Beweisen Sie, ob$f(\alpha, \beta)$ ist für alle Subräume nicht entartet $V_1$ und $V_2$ von $V$, dann \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} wo für jeden Unterraum $W$ von $V$die linke orthogonale Gruppe $W^{\perp_L}$und die rechte orthogonale Gruppe $W^{\perp_R}$ sind definiert durch \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
Per Definition kann ich zeigen (in dieser Richtung, Nicht-Entartung von $f$ wird nicht benötigt) das $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Ich habe nicht viele Gedanken über die andere Richtung, insbesondere darüber, wie die Nicht-Entartung von$f$ sollte angewendet werden?
Antworten
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
Wir beweisen dies zunächst per Definition \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} Lassen $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, dann für jeden $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, wir haben \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
Daher $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$dh $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Umgekehrt, wenn$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, dann für jeden $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, wo $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, wir haben $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ dh $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. Die zweite Gleichheit kann ähnlich bewiesen werden.
Wenn $f(\alpha, \beta)$ ist nicht entartet, zeigen wir das für jeden Unterraum $W$ von $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Per Definition,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Um die andere Richtung anzuzeigen, kann dies durch angezeigt werden$f$ ist nicht entartet, dass für jeden Unterraum $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
Daraus folgt dann \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Diese Gleichheit und $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ implizieren das $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Ähnlich,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.
Jetzt vorbei $(1)$ und $(2)$, wir haben \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Damit ist der Beweis abgeschlossen.
(Die Gleichheit $(*)$ kann durch Erstellen einer Karte zwischen erstellt werden $W^{\lbot}$ zum Lösungsraum des ersten $\dim(W)$ Spalten der Matrix $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)