Bozen-Weierstrass und Nullen komplexer analytischer Funktionen

Dec 19 2020

Ich arbeite an einer Lehrbuchübung. Eine ähnliche Frage: Eine analytische Funktion in einer kompakten Region hat endlich viele Nullen , aber es ist mir nicht ganz klar und ich habe möglicherweise auch einen anderen Ansatz? Ich möchte im Grunde die gleiche Frage beweisen, dass wenn$f$ ist analytisch innerhalb und auf einer einfachen geschlossenen Kontur $C$ (außer möglicherweise für Stangen im Inneren $C$) und wenn alle Nullen von $f$ sind drinnen $C$ und von endlicher Ordnung, dann müssen die Nullen endlich viele sein.

Hoffentlich kann mein Versuch unten überprüft oder korrigiert werden.

Mein Versuch:

Nehmen wir etwas anderes an. Dann von Bozen-Weierstrass das Set$S$ aller Nullen von $f$ (was unendlich ist) enthält einen Akkumulationspunkt im Inneren $C$. Sagen wir es ist$z_0$. Dies$z_0$ ist auch eine Null von $f$ da es sich um die Grenze handelt, ist eine Teilfolge von Nullen in $S$ und $f$ist analytisch (daher auch kontinuierlich). Unter der Annahme ist es beispielsweise eine Null endlicher Ordnung$m$.

Ich behaupte das in jeder Nachbarschaft $N$ von $z_0$, $f$kann nicht identisch Null sein. Um dies zu sehen, schreiben Sie$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ wo $g$ ist ungleich Null und analytisch bei $z_0$. Daher durch diese Eigenschaften von$g$Es gibt eine Nachbarschaft $z_0$ (geschnitten mit $N$) wo $g$ist ungleich Null. Diese Nachbarschaft enthält jedoch beispielsweise eine andere (andere) Null$z'$, von $f$per Definition des Akkumulationspunktes. Daher,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, implizieren das $g$ kann in dieser Nachbarschaft Null sein, ein Widerspruch.

Nun nach einem Satz im Lehrbuch, da $f$ ist analytisch und Null bei $z_0$, aber nicht identisch Null in irgendeiner Nachbarschaft von $z_0$muss es eine gelöschte Nachbarschaft von geben $z_0$ wo $f$ist identisch ungleich Null . Aber auch hier enthält diese gelöschte Nachbarschaft eine Null von$f$, sagen $z''$, per Definition des Akkumulationspunktes, widersprüchlich $f$dort identisch ungleich Null sein. QED.

Meine Fragen wären also:

  1. Ist das oben genannte gültig? Wenn nicht, welcher Teil sollte verbessert werden?

  2. Gibt es noch andere Ansätze?

Normalerweise ist Q2 interessanter, aber ich schätze es sehr, wenn auch Q1 beantwortet wird. Vielen Dank!

EDIT: Jetzt, wo ich nach einigen Kommentaren darüber nachdenke:

Mein erster Absatz sollte in Ordnung sein.

  1. Was meinen zweiten Absatz bis zum Abschluss betrifft, sollte ich es so machen:

Wie $z_0$ ist in Ordnung $m$, wir können schreiben $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ wo $g$ ist analytisch und ungleich Null bei $z_0$. Durch die Kontinuität von$g$ und ungleich Null sein bei $z_0$gibt es eine Nachbarschaft bei $z_0$ wo $g$ist identisch ungleich Null. Löschen$z_0$ Dort, $f$ist dann in dieser gelöschten Nachbarschaft ungleich Null. Dies widerspricht jedoch der Tatsache, dass$z_0$ist ein Akkumulationspunkt von Nullen. Erledigt?

ODER

  1. Eine andere Methode kann ich auch sagen: Entweder $f$ ist in keiner Nachbarschaft identisch Null $N$ von $z_0$ , oder $f$ ist in einigen Stadtteilen identisch Null $N$ von $z_0$. Für den ersteren folgt mein ursprünglicher dritter Absatz zum Abschluss. Für letztere nach dem Identitätssatz$f$ muss innen identisch Null sein $C$. Durch die Analytizität sind ihre Ableitungen aller Ordnung Null und zeigen eine unendliche Ordnung. Erledigt?

Antworten

1 DonAntonio Dec 20 2020 at 18:36

Ich schlage folgendes vor: Lassen Sie uns das beweisen, wenn eine Funktion $f$ ist analytisch in der Region $R$ bestehend aus allen Punkten innerhalb und auf einer einfachen geschlossenen Kontur $C$, außer möglicherweise für Stangen im Inneren $C$und wenn alle Nullen von $f$ im $R$ sind innen zu $C$und sind von endlicher Ordnung, dann müssen diese Nullen eine endliche Anzahl haben. Ich denke, wir müssen die Bedingung hinzufügen, dass$\;f\;$ ist in keiner nicht trivialen offenen, verbundenen Teilmenge von gleich Null $\;R\;$. Dies ist aus einem Buch (ich habe bereits 1981 ein Papier darüber gefunden ...), das ich immer noch nicht finden kann, und es scheint etwas sehr Nahes zu sein, was Sie eigentlich wollen. Beachten Sie die oben genannten Bedingungen für die Funktion$\;f\;$ Sagen Sie tatsächlich, dass die Funktion in der von eingeschlossenen Domäne meromorph ist $\;C\;$ .

Beweis: Angenommen, es gibt unendlich viele Nullen$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ von $\;f\;$ Innerhalb $\;C\;$. Dann gibt es bei Bozen-Weierstraße$\;z_0\;$ auf $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Durch die Kontinuität von$\;f\;$ Das verstehen wir $\;f(z_0)=0\;$ , zu.

Da nehmen wir alle Nullen von an $\;f\;$ auf $\;R\;$sind von endlicher Ordnung und isoliert , es gibt$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ in einer offenen Nachbarschaft $\;U\;$ von $\;z_0\;$ und für eine meromorphe Funktion $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Da die möglichen Pole von$\;f\;$ Innerhalb $\;C\;$ isoliert sind, können wir eine Nachbarschaft nehmen $\;V\;$ von $\;z_0\;$ wo es keine Pole von gibt $\;f\;$ Innerhalb $\;V\;$ und nimm die obige Beziehung $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ im $\;U':=U\cap V\;$, und dieses Mal $\;g\;$ist ungleich Null und analytisch in$\;U'\;$ .

Wir sind also fast durch, seitdem würden wir das durch den Identitätssatz der analytischen Funktionen erhalten $\;f\;$ wäre in einer verbundenen Nachbarschaft von identisch Null $\;z_0\;$ , da dieser Punkt ein Akkumulationspunkt einer Menge ist, bei der $\;f\;$ und die Nullfunktion fallen zusammen, und dies widerspricht der oben hinzugefügten weiteren Bedingung.