Das Beweisen einer bestimmten Teilmenge ist ein CW-Unterkomplex
Ich habe einige Probleme mit einem Detail in einem Beweis aus Hatchers algebraischer Topologie (Prop. A.1 auf S. 520 für Interessierte, obwohl ich es nicht für relevant halte): Wir haben einen CW-Komplex$X$ und ein $n$-Zelle $e_\alpha^n \subset X$und das Bild der anhängenden Karte dieser Zelle ist in einem endlichen Subkomplex enthalten $A \subset X$. Hatcher behauptet das$A \cup e_\alpha^n$ist ein endlicher Subkomplex, aber ich habe Probleme zu verstehen, warum. Ich versuche zu zeigen, dass die Grenze von$e_\alpha^n$ ist enthalten in $A$aber ich komme nicht weiter. Stimmt es im Allgemeinen, dass die Schließung eines$n$-Zelle ist seine Vereinigung mit dem Bild seiner anhängenden Karte?
EDIT: Ich möchte dies beweisen, ohne die Tatsache zu erwähnen, dass CW-Komplexe Hausdorff sind, da das Buch dies noch nicht bewiesen hat.
Antworten
Es ist extrem, extrem einfach zu zeigen, dass ein CW-Komplex Hausdorff ist. Nehmen Sie ihn in Ihren Beweis auf, wenn Sie sich darüber Sorgen machen.
Mit dieser Tatsache wird der Verschluss einer offenen Zelle $e \rightarrow X$ ist das Bild von $e \cup S^n \rightarrow X$gegeben durch die Aufnahme der offenen Zelle und der charakteristischen Karte an der Grenze. Das ist weil$e \cup S^n = D^{n+1}$ist kompakt, und das Bild eines kompakten Sets ist kompakt, was in einem Hausdorff-Raum geschlossen bedeutet. Dies ist die kleinste geschlossene Menge, die das Bild von enthält$e$ da jeder Punkt im Bild der charakteristischen Karte in der Grenze des Bildes von liegt $e$.