Das Beweisen einer bestimmten Teilmenge ist ein CW-Unterkomplex

Aug 16 2020

Ich habe einige Probleme mit einem Detail in einem Beweis aus Hatchers algebraischer Topologie (Prop. A.1 auf S. 520 für Interessierte, obwohl ich es nicht für relevant halte): Wir haben einen CW-Komplex$X$ und ein $n$-Zelle $e_\alpha^n \subset X$und das Bild der anhängenden Karte dieser Zelle ist in einem endlichen Subkomplex enthalten $A \subset X$. Hatcher behauptet das$A \cup e_\alpha^n$ist ein endlicher Subkomplex, aber ich habe Probleme zu verstehen, warum. Ich versuche zu zeigen, dass die Grenze von$e_\alpha^n$ ist enthalten in $A$aber ich komme nicht weiter. Stimmt es im Allgemeinen, dass die Schließung eines$n$-Zelle ist seine Vereinigung mit dem Bild seiner anhängenden Karte?

EDIT: Ich möchte dies beweisen, ohne die Tatsache zu erwähnen, dass CW-Komplexe Hausdorff sind, da das Buch dies noch nicht bewiesen hat.

Antworten

1 ConnorMalin Aug 16 2020 at 02:26

Es ist extrem, extrem einfach zu zeigen, dass ein CW-Komplex Hausdorff ist. Nehmen Sie ihn in Ihren Beweis auf, wenn Sie sich darüber Sorgen machen.

Mit dieser Tatsache wird der Verschluss einer offenen Zelle $e \rightarrow X$ ist das Bild von $e \cup S^n \rightarrow X$gegeben durch die Aufnahme der offenen Zelle und der charakteristischen Karte an der Grenze. Das ist weil$e \cup S^n = D^{n+1}$ist kompakt, und das Bild eines kompakten Sets ist kompakt, was in einem Hausdorff-Raum geschlossen bedeutet. Dies ist die kleinste geschlossene Menge, die das Bild von enthält$e$ da jeder Punkt im Bild der charakteristischen Karte in der Grenze des Bildes von liegt $e$.