Definition von Verbundenheit und Intuition

Question

Wir sagen einen topologischen Raum $X$verbunden werden, wenn es nicht als disjunkte Vereinigung zweier nicht leerer offener Teilmengen geschrieben werden kann. Intuitive Verbundenheit bedeutet, dass unser topologischer Raum ein einziges Stück ist. Ich kann nicht sehen, wie die obige Definition die Intuition erfasst. Bitte helfen Sie.

Answer 1

Wenn natürlich irgendein Platz $X$ mit zwei oder mehr Punkten kann geschrieben werden als $A \cup B$mit $A,B$in vielerlei Hinsicht disjunkt und nicht leer . Aber getrennt zu sein bedeutet, dass es einen Weg gibt, dies so zu tun, dass es keinen Sinn macht$A$ liegt in der Nähe" $B$ und kein Sinn von $B$ liegt in der Nähe" $A$. Nähe zu sein wird in der Topologie formalisiert, indem man sich im Abschluss befindet. Rufen Sie also ein Leerzeichen an$X$ getrennt, wenn wir es schreiben können als $A \cup B$, beide Sätze nicht leer und so, dass $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (kein Sinn von $B$ liegt in der Nähe $A$) und $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (kein Sinn von $A$ liegt in der Nähe $B$). Aber das impliziert das$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ so insbesondere $A=\overline{A}$ und $A$ist geschlossen. Symmetrisch$B$ ist auch geschlossen, und als $A$ und $B$ sind die Komplemente des anderen, $A$ und $B$ sind auch offen (was Sie auch wie folgt sehen könnten, zB wenn $x \in A$ waren kein innerer Punkt von $A$, jede Nachbarschaft von $x$ würde nicht enthalten$A$ Punkte, also Punkte von $B$, wie $A\cup B=X$. Und wenn jede Nachbarschaft von$x$ schneidet $B$, $x \in \overline{B}$, aber wir haben keinen Sinn angenommen $x$ von $A$ war nah dran $B$...)

Wir sind also bei der Definition der Frage und nennen einen Raum, der in diesem Sinne nicht getrennt ist , "verbunden". Es ist in der Tat gleichbedeutend, in der Definition der Trennung nach gleichzeitig offenen Teilen, gleichzeitig geschlossenen Teilen oder "getrennten" Teilen zu fragen (als erste Definition).

Answer 2

Wenn Sie ein verbundenes Set in zwei Teile schneiden, ist an der Stelle des Schnitts eines der beiden Teile "offen", während das andere "geschlossen" ist. Zum Beispiel, wenn Sie die reale Linie an der Stelle in zwei Teile schneiden$a\in\mathbb R$erhalten Sie entweder zwei Stück $(-\infty,a],(a,\infty)$, oder $(-\infty,a),[a,\infty)$. Mindestens einer von ihnen hat eine geschlossene Grenze bei$a$. Die zum Schnitt gehörenden Punkte müssen in einem der beiden Teile enthalten sein, und dieses Teil hat den Schnittpunkt als Grenzpunkt. Ähnliches gilt für kompliziertere Räume: Die Linie, entlang der wir schneiden, muss auf die beiden Teile verteilt werden, um ihnen eine Grenze zu geben und sie nicht zu öffnen.

Natürlich müssen wir nicht entlang einer Linie / Ebene / was auch immer schneiden, aber es ist der Fall, wo die Intuition am unmittelbarsten klar ist.