Die Erweiterung einer verfügbaren Gruppe durch eine verfügbare Gruppe ist möglich
Ich würde das gerne beweisen, wenn $H\subset G$ ist eine normal zugängliche Untergruppe, so dass $G/H$ ist dann zugänglich $G$ist zugänglich. Die Definition der Zugänglichkeit, die ich verwende, lautet wie folgt:
Eine Gruppe $G$ ist zugänglich, wenn jede Aktion von $G$ durch Homöomorphismen eines kompakten metrischen Raums lässt sich ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß zulassen.
Diese Definition findet sich in Navas '"Groups of Circle Diffeomorphisms". Ich habe viele verschiedene Methoden ausprobiert, aber ich konnte es nicht beweisen. Ich weiß, dass es viele gleichwertige Definitionen für die Zugänglichkeit gibt, aber ich möchte (wenn möglich) einen Beweis, der nur diese Definition verwendet.
Folgendes habe ich bisher getan: Wenn $G$ wirkt auf $(M,d)$ dann $G/H$ wirkt auf $M/H$ (der Quotient von $M$ durch die Umlaufbahnen von $H$) ist das Problem, dass diese Gruppe nicht unbedingt metrisch ist, wir könnten die Quotientengruppe mit der Pseudometrie ausstatten $d'$ in Wikipedia angegeben https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (Die Topologie könnte schwächer sein als die Quotiententopologie) und dann einen anderen Quotienten ausführen $X=(M/H)/\sim$ wo $[x]\sim [y]$ wenn $d'([x],[y])=0$. Hier$X$ ist ein kompakter metrischer Raum und wir könnten die Aktion von ergreifen $G/H$ auf $X$ gegeben durch ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ wenn $[[g(x)]]=[[y]]$, schon seit $G/H$ zugänglich ist, gibt es ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß, nämlich $\nu$. Nun die Sets$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ sind kompakt und unveränderlich unter der Wirkung von $H$, also hat jeder nämlich ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu_{[[x]]}$ und wir könnten das Wahrscheinlichkeitsmaß auf definieren $M$ wie $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Ich weiß nicht, ob dies im Allgemeinen funktioniert, ich konnte es nicht beweisen oder widerlegen, ich nehme an, dass dies nicht funktioniert, da es zu einer internen Verschiebung der Umlaufbahnen von kommen könnte $H$ in den Sets $A_{[[x]]}$, aber ich hoffe, das gibt Ihnen einen Einblick in das, was ich bisher versucht habe.
Ich hoffe ich war klar, vielen Dank im Voraus.
Etwas, das helfen könnte: Der Raum der Wahrscheinlichkeitsmessungen in einem metrischen Raum ist kompakt, sodass Sie die Konvergenz der Wahrscheinlichkeitsmaße verwenden können.
Antworten
Korrigieren Sie einen kompakten metrischen Raum $M.$ Lassen $W(M)$ bezeichnen den Wassersteinraum für $M$: Der Raum der Wahrscheinlichkeit misst auf $M,$mit der Wasserstein-Metrik. Die wichtige Eigenschaft ist, dass diese Metrik die Topologie der schwachen Konvergenz ergibt$W(M)$ ein kompakter metrischer Raum.
Lassen $W(M)^H$ bezeichnen den Unterraum von $H$-invariante Maßnahmen. Dies ist geschlossen, daher ist es auch ein kompakter metrischer Raum.
Eine Aktion von $G$ auf $M$ gibt eine Aktion $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ auf $W(M).$ Schon seit $H$ ist normal, $G$ konserviert $W(M)^H$: wenn $p$ ist $H$ dann unveränderlich $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Aber $H$ wirkt trivial auf $W(M)^H,$ also in der Tat $G/H$ wirkt auf $W(M)^H.$ Schon seit $G/H$ ist zugänglich gibt es eine $G$-invariantes Maß $\xi$ auf $W(M)^H.$
Dies ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für einen Raum von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Um ein Maß für den ursprünglichen Raum zu erhalten$M,$Wir brauchen die Integration von Maßnahmen. Oder mit anderen Worten die Multiplikation der Kantorovich-Monade . Definieren$E\xi\in W(M)$ durch $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ für jeden Borel $A.$ Das $G$-invarianz von $\xi$ impliziert die $G$-invarianz von $E\xi$:: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Abschließend möchte ich erwähnen, dass das gleiche Argument funktioniert, wenn Sie die Messbarkeitsbedingung überall fallen lassen. Die Existenz eines invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes für jeden$G$-Aktion auf einem kompakten Hausdorff-Raum ist eine der wenigen Definitionen der Zugänglichkeit, die sich nützlich auf nicht lokal kompakte Gruppen verallgemeinern lässt.
Ich denke, die Äquivalenz von Navas 'Definition und dem Standardbegriff der Zugänglichkeit wird als Bogolyubov-Dey-Theorem bezeichnet. Sie können es an vielen Stellen finden, siehe zum Beispiel Satz 3.6 in
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Zugänglichkeit und ergodische Eigenschaften topologischer Gruppen: ab Bogoljubow , Ceccherini-Silberstein, Tullio (Hrsg.) et al., Gruppen, Grafiken und zufällige Spaziergänge. Ausgewählte Beiträge des Workshops, Cortona, Italien, 2. bis 6. Juni 2014 anlässlich des 60. Geburtstages von Wolfgang Woess. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). Lecture Note Series 436 der London Mathematical Society, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
(Lesen Sie hier für eine kostenlose Version.) Angesichts dieses Ergebnisses können Sie viele der verfügbaren Beweise dafür verwenden, dass die Klasse der zugänglichen Gruppen unter Erweiterungen geschlossen ist, z. B. hier oder in einem von vielen anderen Büchern, die sich mit zugänglichen Gruppen befassen.
Bearbeiten. Aus dem Kontext des Buches geht hervor, dass Navas die Zugänglichkeit (und beispielsweise die Eigenschaft T) nur für Gruppen definiert, die mit einer diskreten Topologie ausgestattet sind. Es ist bedauerlich, dass er die Zugänglichkeit niemals im Kontext topologischer Gruppen (ausgestattet mit nichtdiskreter Topologie) erwähnt, eine nicht standardmäßige Definition der Zugänglichkeit verwendet und keine Referenzen (soweit ich das beurteilen kann) für eine allgemeine Lehrbuchbehandlung zugänglicher Gruppen (und dort) liefert sind einige davon, siehe Referenzen hier , zumindest im Fall von lokal kompakten Gruppen, die diskrete Gruppen enthalten).